Упражнение 1.1.10

Доказать, что если А\В эквивалентно В\А, то А и В эквивалентны (рис. 1.1.11).

Решение: А=(А\В)ÈАÇВ

В=(В\А)ÈАÇВ

Рис. 1.1.11

Если (А\В) и (В\А) эквивалентны, то между элементами этих множеств существует биективное отображение. Элементы множества (АÇВ) поставим в соответствие самим себе. Следовательно, между элементами множеств А и В существует биективное отображение, т.е. А и В эквивалентны, т.е. мощности множеств А и В одинаковы.

Сформулируем некоторые основные теоремы, справедливые для счетных множеств.

Теорема 1.Всякая часть счетного множества есть либо конечное, либо счетное множество.

Теорема 2. Сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Теорема 4. Если М – несчетное множество, а АÌМ есть конечное или счетное множество, то множества М и М\А эквивалентны.

Теорема 5. Присоединяя к некоторому бесконечному множеству М, счетному или несчетному, счетное или конечное множество А, получим множество МÈА, эквивалентное множеству М.

Теорема 6. Всякое бесконечное множество М содержит часть АÌМ, эквивалентную всему множеству М.

Теорема 7. Множество всех пар натуральных чисел счетно. Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа, расположенных в определенном порядке.

Теорема 8. Множество всех рациональных чисел счетно.

Теорема 9. Множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счетного множества, есть счетное множество.

Теорема 10. Множество всех алгебраических чисел счетно.

Теорема 11. Множество континуума несчетно.