Упражнение 1.1.7

Лекции по экономике посещают 20 студентов, по математике – 30. Найти число студентов, посещающих лекции по экономике или математике, если 1) лекции проходят в одно и то же время, 2) лекции проходят в разные часы и 10 студентов слушают оба курса.

Очевидно, в первом случае имеем дело с непересекающимися множествами, т.к. студентов, посещающих оба курса, не существует, т.е. АÇВ=V, если А – множество студентов, посещающих лекции по математике, В – по экономике. Следовательно, n(АÇВ)=0, а n(АÈВ)= n(А)+ n(В)=20+30=50.

Рис. 1.1.8

Во втором случае число студентов, посещающих лекции только по математике, – 10, т.к. из 20 человек 10 слушают оба курса. Аналогично только экономику слушают 20 человек из общего числа студентов, равного 30.

Следовательно, лекции по математике или экономике слушают 40 человек, или n(АÈВ) = n(А) + n(В) - n(АÇВ). Графическое решение задачи приведено на рис. 1.1.8.

Эта формула – простейший вариант формулы включений и исключений, отвечающая на вопрос о сумме любого числа пересекающихся множеств n(А₁ÈА₂È... А_k). Так, для k=3 получим

n(АÈВÈС) = n(А) + n(В) + n(С) – n(АÇВ) – n(АÇС) –
– n(ВÇС) + n(АÇВÇС)

В качестве примера слушателям предлагается получить формулу для k=4.

Если каждому элементу хÎХ поставлен в соответствие некоторый элемент yÎY, то говорят, что определено отображение f множества Х во множество Y. Обозначают y=f(x). Элемент y есть образ элемента х при данном отображении f, х – прообраз элемента y обозначают .

Частным случаем отображения множества Х во множество Y является отображение множества Х на множество Y. Отображение f множества Х в Y является отображением множества Х на Y, если каждому элементу yÎY был поставлен в соответствие какой-либо элемент хÎХ при данном отображении f. Такое соотношение называется сюръективным, т.е. если каждый элемент множества y имеет прообраз, то отображение f сюръективно.

Пусть X={a, b, c, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения f₁ и f₂ так:

т.е.

Отображение f₁ X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на Y, т.к. каждый элемент множества Y имеет прообраз. Отображение f₂ несюръективно, элемент «4» не имеет прообраза.

Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента yÎY существует не более одного прообраза. Приведенные выше отображения f₁ и f₂ не являются инъективными.

Отображение f₃ – инъективно.

Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимно однозначное соответствие).

Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.

Примером биективного отображения для бесконечных множеств может служить отображение f, установленное между множеством натурального ряда чисел A={1, 2, 3, ... n, ...} и множеством четных положительных чисел В={2, 4, 6, ...} по типу n«2n.

Рис. 1.1.9

На рис. 1.1.9 показана возможность установления биективного отображения между множеством Z точек полуокружности и множеством Х точек открытого отрезка (а, b), а также между множеством Z и множеством Y точек прямой – множеством Y.

z, z₁ÎZ; Множества X, Y, Z – несчетные.

x, x₁ÎX;

y, y₁ÎY.