Упражнение 1.1.6

Среди 100 деталей прошли обработку на первом станке 42 штуки, на втором – 30 штук, а на третьем – 28. Причем на первом и втором станках обработано 5 деталей, на первом и третьем – 10 деталей, на втором и третьем – 8 деталей, на всех трех станках обработано три детали. Сколько деталей обработано на первом станке и сколько деталей не обработано ни на одном из станков?

В качестве универсального выберем множество всех деталей. Число его элементов равно 100. Пусть А – множество деталей, обработанных на первом станке, В – на втором, С – на третьем. Число элементов множества А обозначим n(A). Оно равно 42, т.е. n(A) = 42. Аналогично, n(В) = 30, n(С) = 28. Обратимся к диаграмме (рис. 1.1.7).

Рис. 1.1.7

Обведенное на чертеже жирной линией множество АÈВÈС есть множество деталей, обработанных хотя бы на одном из станков. Оно разбито на 7 непересекающихся подмножеств, обозначенных на чертеже цифрами. Область 1 есть множество деталей, прошедших обработку на всех трех станках, т.е. множество АÇВÇС. По условию задачи n(АÇВÇС)=3. Множество деталей, обработанных на первом и втором станках, т.е. АÇВ, есть сумма областей, помеченных цифрами 1 и 2. Причем область 2 – множество деталей, обработанных только на первом и втором станках.

По условию задачи n(АÇВ)=5. Следовательно, число деталей, обработанных только на первом и втором станках, равно 5 – 3 = 2. Аналогично, число элементов множества, обозначенного цифрой 3, есть число деталей, прошедших обработку на первом и третьем станках, оно равно n(АÇС) – n (АÇВÇС) =
= 10 – 3 = 7. Число деталей, прошедших обработку только на втором и третьем станках (область 4), равно n(ВÇС) – n(АÇВÇС) = 8 – 3 = 5.

Область, помеченная на чертеже цифрой 5, есть множество деталей, обработанных только на первом станке. Число элементов этого множества получим, если из числа всех обработанных на первом станке деталей вычесть число деталей, обработанных одновременно на первом и втором, а также на первом и третьем станках, в том числе и на всех трех станках 42 - (3 + 2 + 7) = 30.

Аналогично можно определить число деталей, обработанных только на втором станке (область 6), 30 - (3 + 2 + 5) = 20, а также только на третьем (область 7) 28 - (3 + 7 + 5) = 13. Число всех обработанных деталей, т.е. n(АÈВÈС), получим, если сложим число элементов всех областей с 1 по 7. Оно равно 80. Дополнением к нему является множество необработанных деталей U\ АÈВÈС= , n( ) = 100 – 80 = 20.

Заметим, число элементов непересекающихся множеств А и В (т.е. множеств, для которых выполняется условие АÇВ=V) отличается от числа элементов пересекающихся множеств. Рассмотрим пример.