Ковариация и ее применение в финансовом деле

Ковариация σ_XY между двумя дискретными случайными величинами X и Y определяется как

, (4.3)

где Х_i – i-е значение дискретной случайной величины Х, Y_i – i-е значение дискретной случайной величины Y, E(Х), E(Y) – математические ожидания случайных величин Х и Y соответственно, P(X_i,Y_i) – вероятность i-го значения случайных величин Х и Y.

Проиллюстрируем понятие ковариации следующим примером. Представьте, что вам предстоит сделать одну из двух альтернативных инвестиций. Первая инвестиция представляет собой вложение средств во взаимный фонд, владеющий различными акциями, определяющими индекс Доу-Джонса. Назовем его фондом Доу-Джонса. Вторая инвестиция - приобретение акций взаимного фонда, приносящих наибольшую доходность во время экономического спада. Присвоим ему название «фонд экономического спада». Вы оцениваете доходность каждой инвестиции (прибыль на 1000 долларов) для каждого из трех возможных вариантов состояния экономики, имеющих определенную вероятность, и заполняете табл. 2.

Таблица 2. Прогнозируемая прибыль от каждой инвестиции для каждого из трех состояний возможных вариантов состояния экономики.

Введем следующие обозначения: X – доходность фонда Доу-Джонса, Y – доходность фонда экономического спада.

Математическое ожидание и стандартное отклонение доходности каждой инвестиции, а также ковариация между их показателями доходности вычисляются следующим образом.

E(X) = μ_x = -100×0,2 + 100×0,5 + 250×0,3 = 105 $,

E(Y) = μ_y = 200×0,2 + 50×0,5 + (-100) ×0,3 = 35$,

Var(X) = σ_x² = (-100–105)²×0,2 + (100–105) ²×0,5 + (250–105) ²×0,3 = 14725

σ_x = 121,35 $

Var(Y) = σ_y² = (200–35) ²×0,2 + (50–35) ²×0,5 + (100–35) ²×0,3 = 11025

σ_y = 105 $

σ_xy = (-100–105)(200–35) ×0,2 + (100–105)(50–35)×0,5 + (250–105)(-100–35)×0,3 = -6765 – 37,5 – 5872,5 = -12675

Таким образом, математическое ожидание доходности фонда Доу-Джонса выше, чем у фонда экономического спада. Однако стандартное отклонение фонда Доу-Джонса также превышает стандартное отклонение фонда экономического спада, что говорит о более высокой степени риска. Ковариация между показателями доходности обоих фондов свидетельствует о сильной обратной зависимости. Иначе говоря, доходность обоих фондов изменяется противофазно. Если доходность одного из фондов возрастает, доходность другого снижается.