Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если

Замечание. Только квадратная матрица имеет обратную себе, при чем того же порядка, но не всякая квадратная матрица имеет обратную.

Если определитель матрицы отличен от нуля , то квадратная матрица называется невырожденной (неособенной); если определитель равен нулю, то матрица вырожденная (особенная).

Теорема (необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель исходной матрицы А (если он равен нулю, то обратной матрицы не существует).

2. Находим матрицу A', транспонированную к A.

3. Определяем алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле

.

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы

Пример. . Вычислить обратную матрицу.

Решение.

1.

2.

3.

4. .

Замечания.

1. Существует еще один способ определения обратной матрицы – с помощью элементарных преобразований. Для этого составляют матрицу , где Е – единичная того же порядка. Элементарными преобразованиями превращают А в единичную Е; при этом сама единичная матрица Е, подвергаемая тем же преобразованиям, превращается в обратную матрицу . То есть получаем .

2. Элементарные преобразования матриц:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю;

3) изменение порядка строк (столбцов) (уточнение: изменение порядка строк (столбцов) матрицы при вычислении определителя меняет его знак);

4) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5) транспонирование.

3. Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Пример. , .

Следовательно, существует обратная матрица. Найдем ее описанным в замечании способом.

(т.к. менялись местами столбцы, то дальнейшие преобразования выполняем со столбцами; обнуляем первые элементы второго и третьего столбцов, сложив их с первым, умноженным соответственно на (-2) и на 1 и т.д.)

.

Таким образом, .

4.Понятие минора к-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и (или) столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка. Определители таких матриц называются минорами k-го порядка матрицы.

Замечание. Следует отличать понятия «минор элемента матрицы» (см. п.2) и «минор матрицы».

Рангом матрицы А (r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

2) r(A)=0 только для нулевой матрицы;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(A)=n тогда и только тогда , когда матрица А невырожденная, т.е. .

Пример. Определить ранг матрицы

.

Решение. Выделим из матрицы всевозможные миноры:

миноры второго порядка

, , – все они равны нулю, значит ранг матрицы не может быть равен 2;

миноры первого порядка:

и т.д. – среди них есть отличные от нуля, следовательно, r(A)=1.

При большой размерности матрицы определение ее ранга перебором всех миноров достаточно трудоемко. Рассмотрим другие способы.

Теорема. Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Используя данную теорему, в общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований (см. п.3) данную матрицу А приводят к ступенчатому виду

,

и число ненулевых строк в полученной ступенчатой матрице есть ее ранг.

Замечание. Если в матрице m>n, то для проведения элементарных преобразований со строками лучше матрицу предварительно транспонировать.

Пример. (чтобы обнулить в первом столбце все числа, кроме первого, первую строку матрицы умножаем на 2 и складываем с третьей; затем первую строку складываем с четвертой)=

=(теперь обнуляем во втором столбце все числа, кроме первых двух, для этого вторую строку умножаем на (-3) и складываем сначала с третьей, а затем с четвертой) .

Число ненулевых строк в получившейся ступенчатой матрице равно 2, следовательно, r(A)=2.