Действия с матрицами

1. Умножение матрицы на число .

Пример: .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2. Сложение матриц .

Пример: .

При вычитании матриц вычитаются их соответствующие элементы.

3. Умножение матриц

Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример:

Свойства операций над матрицами:

, но существуют матрицы, их называют перестановочные, для которых АВ=ВА.

4. Транспонирование матриц

Транспонирование – это переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теореме Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число (!), характеризующее эту матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Это число называется определителем матрицы. Определитель матрицы А обозначается или .

Определитель матрицы первого порядка равен самому элементу матрицы

Определитель матрицы второго порядка вычисляют по формуле

Пример.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляют по формуле

Эту формулу называют правилом треугольника, так как последовательность слагаемых и их знаки легко запомнить с помощью схемы рисунка 2.1.1.

Для вычисления определителей более высоких порядков нужно ввести два дополнительных понятия:

- минор элемента матрицы,

- алгебраическое дополнение элемента матрицы.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы n-го порядка вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Например,

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком .

Например,

Теорема Лапласа[1]. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.Пример.