Изучение основных методов решения систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений в среде MathCAD.
1. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
Методику решения обыкновенных дифференциальных уравнений рассмот-
рим на примере САУ с передаточной функцией
с начальными условиями для переменной у(0)=0 и её производной ру(0)=3.
Значение х, как полагается для переходного процесса, равно 1.
Операторное уравнение, соответствующее этой передаточной функции, имеет вид
(2.1)
с начальными условиями для переменной у(0)=0 и её производной ру(0)=3.
Значение х, как полагается для переходного процесса, равно1.
Операторное уравнение, соответствующее этой передаточной функции,
имеет вид
(2.2)
- первое дифференциальное уравнение в форме Коши будет иметь вид
- с учетом (2.3) дифференциальное уравнение (2.2) примет вид
4р(у1+2,5х)+2(у1+2,5х)+у0=10рх+3х или
4ру1+10рх+2у1+5х+у0=10рх+3х. (2.3)
После сокращения члена 10рх получим
4ру1+2у1+2х+у0=0(2.4)
Из (2.4) следует из второе дифференциальное уравнение в форме Коши
ру1=-0,5х-0,5у1-0,25у0(2.5)
Итак, дифференциальное уравнение 2-го порядка (2.2) приведено к следующей системе уравнений в форме Коши
Начальные условия для индексных переменных, используемых в записи
(2.6), имеют следующие значения
у0(0)=у(0)=0, у1(0)=ру(0)-2,5х=0,5(2.7)
Программа решения указанной системы уравнений с выводом результатов
расчетов приведена на рисунок 2.1. Приведем пояснения к записи задачи и трактовке результатов счета в формате MathCAD.
Переменная у0(0)и ее производная у1(0) вводятся матрицей начальных условий у:
(2.8)
Правые части системы уравнений (2.7) нужно представить в виде матрицы
(2.9)
где F(t,y) – идентификатор правых частей системы дифференциальных уравнений, в котором указывается аргумент t, по которому ведется интегрирование, и идентификатор у переменной интегрирования.
Далее записывается встроенная в MathCAD функция решения системы
дифференциальных уравнений типа Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования
z:=Rkadapt(y, tнач, tкон, N, F) (2.10)
где: z – идентификатор массива, в который передаются результаты счета;
у – обозначение имени матрицы переменных интегрирования;
tнач и tкон – начальное и конечное значения переменной интегрирования t;
N+1 – количество строк массива z, которые нумеруются от 0 до N.
Массив z заполняется результатами счета следующим образом:
- в нулевой столбец (zi,0) помещаются значения моментов времени t, изменяющихся от tнач до tкон с шагом Δt равным (tкон-tнач)/N;
- в первый столбец (zi,1) помещаются значения переменной у0;
- во второй столбец (zi,2) помещаются значения переменной у1.
В MathCAD существуют также другие функции решения систем дифференциальных уравнений, например, Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования: rkfixed.
В программах для лучшего восприятия результатов счета введены команды переприсвоения значений zi,0, zi,1 и zi,2 массива z переменным, которые являются физическими: времени ti, переходного процесса hi и функции веса wi.
Построены графики переходного процесса и функции веса. Переменные обоих графиков по оси ординат вводятся через запятую. При этом следующая переменная автоматически переводится строкой ниже.
Рис.2.1. Программа вычислений
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Передаточную функцию взять из задания к практическим занятиям. Оттуда же взять начальные условия для у и у'.
3. ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Процедура подготовки к вводу задания в программу MathCAD: преобразования дифференциального уравнения в нормальную форму Коши, расчет начальных условий для индексных переменных.
2. Текст программы и предъявить работающую программу.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
Исследование линейной САУ с П- и И-регуляторами
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование влияния настроек П-, и И-регуляторов на прямые и косвенные показатели качества линейной САУ.
1. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
Исследуется САУ объектом 2-го порядка (рис.3.1) с полным регулятором ПИД типа, содержащем пропорциональную (П) часть с коэффициентом пере-
(2.1)
(2.2)
(2.8)
(2.9)