Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».

.

В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество.

Вынесем –1 из первой строки:

Вынесем «минус» из второй строки:

Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:

Можно убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –216).

Задание 3

Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов

4. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю

Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки:

Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы. Так как при транспонировании величина определителя не меняется, то из линейной зависимости строк следует и линейная зависимость столбцов.

В пример можно вложить геометрический смысл – если считать, что в строках записаны координаты векторов пространства, то первые два вектора с пропорциональными координатами будут коллинеарны, а значит, все три вектора – линейно зависимы, то есть компланарны.

В следующем примере пропорциональны три столбца (и, к слову, три строки тоже):

Здесь второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице

Следует отметить, что обратное в общем случае неверно – если определитель равен нулю, то из этого ещё не следует, что его строки (столбцы) пропорциональны. То есть линейная зависимость строк/столбцов может быть и не явной.