Практичне заняття 7

Тема:Обробка експериментальних даних засобами MathCAD.

Мета: отримати навики розв’язування задач інтерполяції, екстраполяції, регресії та згладжування експериментальних даних засобами програми MathCAD.

Час: 2 години.

Навчальні питання:

1. Інтерполяція, екстраполяція, регресія.

2. Реалізація згладжуючих алгоритмів.

МР: Лінійна інтерполяція даних виконується за допомогою функції linterp .

Для реалізації в MathCAD сплайн–інтерполяції перед застосуванням функції interp потрібно визначити вектор похідних другого степеня :

lspline - створює вектор значень коефіцієнтів кривої, що наближається до прямої лінії в граничних точках, коефіцієнти лінійного сплайна;

pspline - вектор значень коефіцієнтів квадратичного сплайна;

cspline - вектор значень кубічного сплайна;

В–сплайн–інтерполяція (поліноміальна) відрізняється способом з’єднання («зшивання») сплайнів не в точках , а в точках , координати яких вводить користувач. Вектор значень коефіцієнтів В-сплайна задається функцією bspline , де - вектор значень аргументу, в яких виконується («зшивання») сплайнів – задається користувачем; - порядок поліномів сплайн-інтерполяції (1, 2 або 3).

Для екстраполяції даних в MathCAD передбачена функція predict , де - вектор заданих значень функції, аргумент якої змінюється через однакові інтервали; - кількість послідовних елементів вектора для виконання екстраполяції; - кількість точок екстраполяції (прогнозуючих елементів вектора ).

Інструментарій виконання лінійної регресії в MathCAD базується на двох методах:

1) метод найменших квадратів, алгоритм якого реалізовується функціями:

- обчислює вектор-стовпчик коефіцієнтів лінійного рівняння ;

- розраховує коефіцієнт ;

- обчислює коефіцієнт ;

2) метод медіан, алгоритм якого реалізований функцією

- обчислює вектор–стовпчик коефіцієнтів лінійного рівняння .

Поліноміальна регресія в MathCAD реалізована у вигляді таких алгоритмів (способів):

спосіб 1. Наближення поліномом - го степеню , при кількості точок початкових даних (вибірки) . Даний алгоритм застосовує функції:

regress - вектор коефіцієнтів полінома, де - степінь полінома;

interp ( ) – результат інтерполяції, де , - значення аргументу полінома регресії;

спосіб 2. Регресія відрізками поліномів. Алгоритм даного способу застосовує функції loess та interp:

- вектор коефіцієнтів для побудови регресії даних відрізками поліномів;

- параметр, що визначає розмір відрізків поліномів, тобто указує степінь згладжування даних.

Регресія на базі нелінійних математичних функцій:

- регресія експонентою ;

- регресія логістичною функцією ;

- регресія синусоїдою ;

- регресія степеневою функцією ;

- регресія логарифмічною функцією ;

- вектор початкових значень;

- регресія;двохпараметричною логарифмічною функцією .

Регресія загального вигляду.

- повертає вектор параметрів лінійної комбінації деяких функцій ;

- вектор функцій ;

- вектор параметрів, що апроксимує дані за допомогою функції загального виду ;

- вектор початкових значень;

- векторна функція розмірності , що складається із функції користувача та її частинних похідних відносно невідомих параметрів.

Реалізація згладжуючих алгоритмів.

- згладжування алгоритмом «ковзної медіани», де - ширина вікна згладжування. Дана функція передбачає, що дані розміщені рівномірно ( - рівномірна послідовність чисел);

- згладжування на основі функції Гауса, де - параметр управління вікном згладжування;

- згладжування адаптивним алгоритмом за методом найменших квадратів з аналізом найближчих «сусідів» кожної пари даних.

Всі функції містять аргументом та масиви даних і видають в результаті вектор згладжених даних. Тому, доцільно виконувати згладжування разом з інтерполяцією або регресією.

Завдання. Для початкових даних таблиці виконати задачі інтерполяції, екстраполяції, регресії та згладжування. Результати подати в графічній формі.

Завдання 1. Виконати інтерполяцію даних таблиці:

Ø лінійну;

Ø сплайн–інтерполяцію (лінійну, квадратичну та кубічну);

Ø В–сплайн–інтерполяцію (поліноміальну).

Завдання 2. Розв‘язати задачу екстраполяції на 80 точок функції , якщо

Завдання 3. Виконати лінійну регресію даних таблиці двома методами: МНК і медіан.

Завдання 4. Для даних таблиці застосувати інструментарій поліноміальної регресії, два способи.

Завдання 5. Виконати регресійний аналіз на базі нелінійних математичних функцій. Використати всі відомі функції.

Завдання 6. Розв‘язати задачу регресії при використанні функції загального вигляду , якщо задан - вектор функцій у вигляді:

.

Завдання 7. Виконати згладжування даних таблиці за допомогою вбудованих функцій. Результати на одному графіку.