Разложение определителя по строке (столбцу).

Пусть дана квадратная матрица порядка .

Определение. Минором порядка матрицы , соответствующим элементу , называется определитель матрицы, полученный из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

.

Пример. Рассмотрим матрицу второго порядка . Минором этой матрицы, соответствующим элементу , является число 5, элементу - число -3, элементу - число 1, элементу - число 2.

Для матрицы третьего порядка

а соответствующие алгебраические дополнения равны:

и т.д.

Лемма. Если в матрице все элементы -ой строки ( -ого столбца), кроме одного элемента равны нулю, то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение, т.е. .

Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Доказательство.

Из следствия ясно, что определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое дополнение:

Следствие. Сумма произведений элементов -ой строки на алгебраические дополнения элементов -ой строки равна нулю.

.

Доказательство.

Введем матрицу , строки которой, кроме -ой, совпадают с соответствующими строками матрицы , а -ая строка матрицы совпадает с -ой строкой матрицы , т.е. в матрице есть две равные строки. Следовательно, .

С другой стороны , где - алгебраическое дополнение элементов . Но , а . Следовательно, , т.е.

для . Что и требовалось доказать.

Приложение теории определителей.

1. Обратимость матриц.

Определение. Присоединенной матрицей матрицы называется матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы .

Теорема. Матрица обратима тогда и только тогда, когда .

Необходимость. .

Достаточность. Введем матрицу с элементами , здесь -алгебраические дополнения элементов матрицы . Тогда

,

т.к. .

Следовательно, - единичная матрица. А тогда , т.е. обратимая матрица существует и имеет вид: .

2.Блочные матрицы.

Даны четыре матрицы -ого порядка . Образуем матрицу порядка

Теорема. Пусть - блочная матрица вида

где О - нуль-матрица. Тогда .

3. Схема Крамера решения систем линейных алгебраических