Свойства определителей.

Свойство 1. Определитель матрицы при ее транспонировании не меняется, т.е. .

Доказательство.

Пусть .

Тогда

.

Переставим сомножители в каждом слагаемом суммы так, чтобы они расположились в порядке возрастания первого индекса. Т.к. числа представляют собой перестановку чисел , то, действительно, найдется такое , что и, следовательно, . На первом месте теперь стоит сомножитель , на втором и т.д., т.е.

Подстановка вместе с подстановкой пробегает все множество , т.е. в последней сумме слагаемых. Таким образом суммируются все слагаемые определителя . Следовательно .

Теперь очевидно, что остальные свойства могут формулироваться лишь для строк.

Свойство 2. Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство.

Рассмотрим случай строк (справедливость для столбцов следует из свойства 1).

Т.к. в каждое слагаемое определителя входит элемент из каждой строки, то это слагаемое будет содержать в качестве одного из сомножителей нуль. Следовательно, .

Свойство 3. Если одну из строк (столбцов) определителя умножить на произвольное число, то определитель умножается на это число.

Доказательство.

Пусть . Матрицу сформируем так: . Тогда

Свойство 4. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его знак изменится на противоположный.

С войство 5. Если в определителе есть две равные строки, то он равен нулю.

Доказательство.

Пусть исходная матрица с двумя одинаковыми строками. Поменяем их местами. Получим матрицу . По свойстве 4 , но с другой стороны , т.к. .

Следствие. Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.

Свойство 6. Пусть в определителе элементы -ой строки являются суммой двух слагаемых

.

Тогда определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме -ой, совпадают, -тую строку одного определителя составляют элементы , а другого - элементы , т.е.

Доказательство.

.

Свойство 7. Если к строке определителя прибавить другую строку, умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.

Доказательство.

Пусть в определителе -я строка получена прибавлением к -ой строке определителя j-ой строки, умноженной на некоторое число , т.е. , а остальные строки определителей совпадают - . По предыдущему свойству определитель равен сумме определителей: первый совпадает с , а у второго элементы -ой и -ой строк пропорционально. Тогда он, по следствию свойства 5, равен нулю. Следовательно, .

Свойство 8 Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. .