Теорема. Пусть дана СЛАУ 
, где 
- квадратная матрица 
- ого порядка, 
. Тогда решение системы можно найти по формулам
,
где 
- определитель матрицы, полученной из матрицы заменой 
- ого столбца столбцом свободных членов 
:
.
Доказательство.
Выше в разделе Обратимость матриц показали, что обратная матрица имеет вид:
, где 
- присоединенная матрица для матрицы .
Из уравнения имеем 
или
.
Разложим определитель по - тому столбцу. Получим
, т.е. 
.
Пример .
, 
, 
, 
.
.
Теорема. Система уравнений определена тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
Действительно, если система определена, т.е. имеет единственное решение, то это значит, что методом Гаусса ее матрица может быть приведена к диагональному виду 
с ненулевыми диагональными элементами. Так как при таких преобразованиях определитель матрицы либо не меняется, либо умножается на число, то 
.
Так как 
, то и .
И наоборот. Если , то 
единственное решение.
Следствие. Однородная система уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство.
Для однородной системы определенность означает нулевое решение (оно существует всегда). Следовательно, неопределенность решения однородной системы (т.е. наличие еще и ненулевого решения) требует, чтобы 
.
Обратно, если , то система не определена, т.е. существует несколько решений, т.е. кроме нулевого (которое существует всегда) обязательно есть и ненулевое.
