Вычисление определителей

Пример 1.

Решение. . При n >1строчки пропорциональны, поэтому определитель равен нулю. Ответ: при n = 1; 0 при n > 1.

Пример 2.

Решение. . Пусть n > 2. Вычтем первую строчку из каждой. Получим определитель с пропорциональными строчками, а он равен нулю. Ответ: 1 при n = 1; -2 при n = 2; 0 при n > 2.

В дальнейшем, как правило, будем предполагать без оговорок, что порядок определителя больше 1. Во всяком случае будем выявлять общую закономерность построения матрицы и алгоритм вычисления указывать для этой закономерности, не отвлекаясь на несущественные частные случаи.

Пример 3.

Решение. Разложим определитель по элементам первой строчки

Пример 4.

Решение. Прибавим ко второму столбцу первый, домноженный на х, затем к третьему новый второй, домноженный на х и т.д. Получим

Пример 5.

Решение. Ко второй строчке прибавим первую, домноженную на x, к третьей новую вторую, домноженную на х и т. д.

Пример 6.

Решение. К каждой строчке прибавим первую, домноженную на х. Получим определитель матрицы, у которой под главной диагональю расположены только нули.

Ответ:

Пример 7.

Решение. Прибавим все столбцы к первому. Получим под главной диагональю одни нули.

Ответ:

Пример 8.

Решение. Вычтем из первой строчки вторую, из второй третью и т.д. Затем представим элементы последней строчки в виде сумм двух слагаемых 0+1 0+1 ... 0+1(n-1)+1

В первом определителе под главной диагональю находятся одни нули и он равен произведению диагональных элементов. Во втором определителе прибавим последнюю строчку к каждой и получим одни нули над главной диагональю

Пример 9.

Решение. Элементы первого столбца представим в виде сумм двух слагаемых a+b 1+1 0+0 ... 0+0. Тогда

Пример 10.

Решение. Разложив определитель по первому столбцу, получим

а разложив по последнему столбцу, получим

Отсюда:

Ответ:

Пример 11.

Решение.

Ответ:

Пример 12.

Решение. Вычтем из каждой строчки первую, домноженную на номер этой строки.

Прибавим к первому столбцу каждый столбец, домноженный на его номер. Под главной диагональю оказались одни нули.

Ответ:

Пример 13.

Решение. Разложив по первой строчке, получим рекуррентное соотношение . Заметим, что . Возникает гипотеза, что . Методом полной математической индукции по n докажем это. База индукции есть Предположим, что для определителей порядка меньше n утверждение верно, т.е. Подставив эти значения в рекуррентное соотношение, получим . Ответ: n+1.

Замечание.Иногда задачу вычисления определителя считают выполненной, получив рекуррентное соотношение, т.е. выразив через Ведь предварительно вычислив несколько первых значений с помощью рекуррентного соотношения можно вычислить для любого конкретного значения n. Если , то существует метод вычисления, основанный на следующей теореме:

Пусть – характеристический многочлен рекуррентного уравнения

(1)

Функция является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда – корень f(x).

Функция является решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда – двойной корень f(x).

Если f(x) имеет различные корни и , то всякое решение уравнения (1) имеет вид

Если f(x) имеет двойной корень , то всякое решение уравнения (1) имеет вид