Теорема Гамильтона-Кэли

Рассмотрим для квадратной матрицы А порядка n матрицу А-lЕ. Ее определитель j(l) = |А-lЕ| – это многочлен степени n от переменной l,

Значения некоторых коэффициентов довольно легко указать сразу же. Скажем, (последнее равенство получим, положив l равным нулю).

j(l) называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение j(l) = 0 называется характеристическим уравнением для матрицы А.

Пусть – некоторый многочлен. Выражение

после выполнения соответствующих операций над матрицами приводится к виду квадратной матрицы n-го порядка. Если f(A) = О, то матрица А – корень матричного уравнения f(l) = О.

Матрицы можно рассматривать с числами в качестве элементов, а также с многочленами или с векторами. Полиномиальной матрицей называется матрица, элементы которой – многочлены. Полиномиальную матрицу, элементы которой – многочлены от переменной l, можно представить в виде многочлена от переменной l с числовыми матрицами в качестве коэффициентов. Например,

Коэффициентами являются числовые матрицы того же порядка, что и исходная полиномиальная матрица.

Теорема.Квадратная матрица есть корень своего характеристического уравнения.

Доказательство. Рассмотрим полиномиальную матрицу А – lЕ. Элементами взаимной матрицы являются миноры порядка n-1 матрицы А – lЕ, т. е. многочлены от l степеней не выше n-1. Таким образом

где – числовые матрицы порядка n;

Характеристический многочлен – это многочлен степени n

Взаимная матрица В обладает свойством (А- lЕ) В = j (l) Е, т.е.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны. Приравнивая коэффициенты, получим

Домножив эти равенства слева соответственно на и сложив полученные матричные равенства получим слева нулевую матрицу, а справа матрицу j(А). ■