Ранг матрицы

Если в матрице все миноры какого-либо порядка r равны нулю, то и все её миноры более высокого порядка равны нулю. Следовательно, в ненулевой матрице существует минор наивысшего порядка, отличный от нуля.

Ранг матрицы – наивысший порядок отличного от нуля минора.

Находить ранг матрицы можно, пользуясь определением. Чаще всего для определения ранга применяются элементарные преобразования матриц. Их четыре:

1) Умножение строчки матрицы на число, отличное от нуля.

2) Прибавление к строчке другой, домноженной на число.

3) Умножение столбца матрицы на число, отличное от нуля.

4) Прибавление к столбцу матрицы другого, домноженного на число.

Теорема. С помощью элементарных преобразований в матрице можно поменять местами две строчки (столбца).

Доказательство. . ■

Замечание. Удобно при решении примеров перемену местами строчек и перемену местами столбцов называть пятым и шестым элементарными преобразованиями, хотя по структуре они вовсе не элементарные. Иногда седьмым и восьмым элементарными преобразованиями называют приписывание строчки или столбца из нулей, при которых, очевидно, ранг не меняется.

Если от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью цепочки элементарных преобразований, то будем называть матрицу В эквивалентной матрице А и обозначать это так: В~А.

Легко видеть, что каждое элементарное преобразование обратимо, т.е. если от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью элементарных преобразований, то и от матрицы В к матрице А тоже можно перейти с помощью элементарных преобразований. Значит, если В ~ А, то А ~ В; матрицы А и В эквивалентны друг другу.

Теорема.При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство. При переходе от матрицы А к матрице В с помощью первого и третьего элементарных преобразований все миноры, отличные от нуля в матрице А, остались отличными от нуля и в матрице В. Все миноры, равные нулю в матрице А, остались равными нулю и в матрице В. Таким образом, первое и третье элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Пусть матрица В получена из матрицы А прибавлением к её строчке i другой строчки j, домноженной на число . Все миноры, не затрагивающие строчку i в матрице остались равными нулю или отличными от нуля, т.е. такими же какими были в матрице А. Минор же, затрагивающий строчку i в матрице В, представим в виде суммы М=М₁+lМ₂, которая может оказаться равной нулю, несмотря на то, что миноры М₁ и М₂ матрицы А отличны от нуля. Таким образом, . В силу обратимости элементарных преобразований отсюда следует, что , т.е. .

Аналогично утверждение доказывается и для четвертого элементарного преобразования. ■

Пример. Найти ранг матрицы .

Вычтем из каждой строчки последнюю, домноженную соответственно на 2, 3 и 4:

.

Вычтем из второго столбца первый, домноженный на 8, из третьего первый, домноженный на 2, и прибавим к последнему столбцу первый, домноженный на 2. Получим:

.

Полезное наблюдение: если с помощью элементарных преобразований получили нули в столбце или строчке, кроме одного элемента, то в столбце или, соответственно, строчке этого элемента все остальные элементы можно заменить на нули.

Упростим полученную матрицу. Для этого домножим элементы второго и третьего столбцов на -1, а последнего на (вынесли общий множитель элементов столбца): .

С помощью единицы из первой строчки получим нули в последнем столбце:

,

а затем и в первой строчке

.

Из третьей строчки вычтем вторую:

.

Вынесем общий множитель -9 из третьей строчки, -4 из второго столбца, -9 из третьего столбца:

.

Из второго столбца вычтем третий.

.

Получили матрицу, в которой никакие элементарные преобразования не увеличивают число нулей. В ней отличен от нуля минор наивысшего порядка 4. Ранг последней матрицы равен 4. А так как ранги эквивалентных матриц равны, то и ранг исходной матрицы равен 4.

Пример. Найти ранг матрицы: .

А ~ ~ ~ .

Ответ: 3.