Свойства определителей

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Доказательство. Каждое слагаемое определителя транспонированной матрицы

равно соответственно слагаемому исходной матрицы А

Если слагаемые соответственно равны, то и их суммы равны, отсюда следует равенство

Замечание. Свойство 1 означает, что с точки зрения вычисления определителей строчки и столбцы квадратной матрицы равноправны, т.е. свойство определителей, доказанное для строчек, выполняется и для столбцов. Это позволяет формулировать свойства как для строчек, так и для столбцов, ограничиваясь доказательствами, скажем, для строчек.

Свойство 2.Если в определителе поменять местами две строчки (столбца), то знак определителя изменится на противоположный.

Доказательство. В квадратной матрице А поменяем местами строчки j и k. Для слагаемого определителя преобразованной матрицы имеем

Просуммировав левые и правые части таких равенств соответственно, мы и получим, что

Свойство 3. Если квадратная матрица имеет две одинаковые строчки (столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Поменяв местами эти две равные строчки матрицы А, мы получим матрицу В, которая ничем не отличается от матрицы А, поэтому . С другой стороны, по предыдущему свойству .

Следовательно,

Свойство 4. Если все элементы строчки (столбца) квадратной матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. В каждое произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца, входит элемент из этой строчки, т.е. ноль, поэтому все слагаемые определителя равны нулю; их сумма тоже равна нулю.

Свойство 5. Если все элементы строчки (столбца) квадратной матрицы умножить на число, то и определитель матрицы домножится на это число.

Доказательство. Каждое слагаемое определителя матрицы А домножается на это число l, так как в него обязательно входит в качестве множителя элемент выбранной строчки. Следовательно, и вся сумма домножается на l.

Замечание. Свойство 5 при вычислении определителей удобно использовать и в такой переформулировке:

Постоянный множитель строчки (столбца) определителя выносится за знак определителя.

Если найдется такое число l ¹ 0, что каждый элемент одной строчки получается домножением на l соответствующего элемента другой строчки (столбца), то такие строчки (столбцы) называются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности l.

Свойство 6. Если две строчки (столбца) квадратной матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Вынесем за знак определителя коэффициент пропорциональности l. Получим определитель матрицы с двумя равными строчками (столбцами). По свойству 3 такой определитель равен нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент строчки квадратной матрицы представить в виде суммы двух чисел, то определитель этой матрицы равен сумме двух определителей матриц, у которых все строчки те же, что и у исходной матрицы, кроме выделенной. На месте выделенной строчки в первой матрице располагается строчка из первых слагаемых, а во второй – строчка из вторых слагаемых.

Для доказательства достаточно заметить, что

Ясно, что аналогичное свойство верно и для столбцов.

Будем понимать под линейной комбинацией строчек. и с коэффициентами строчку

Свойство 8. Если к строчке (столбцу) квадратной матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строчек (столбцов), то ее определитель не изменится.

Доказательство. Определитель преобразованной матрицы можно представить в виде суммы определителей, один из которых есть определитель исходной матрицы, а остальные – определители матриц, имеющих пропорциональные строчки (равные нулю по свойству 6).

Свойство 9.Если строчка (столбец) квадратной матрицы есть линейная комбинация остальных строчек (столбцов), то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Определитель равен сумме определителей матриц с пропорциональными строчками, каждый из которых равен нулю.

Пример. Вычислить определитель

Решение. Вычитая из второй строчки первую, домноженную на 2, из третьей первую же, домноженную на 3, из четвертой первую, домноженную на 4, получим определитель треугольной матрицы:

Определитель Ван-дер-Монда

вычислим с помощью сформулированных основных свойств. Вычитаем из каждой строчки, начиная с последней, предыдущую, домноженную на :

Получили рекуррентную формулу

Применяя последовательно эту формулу для , получим ответ: