Определители

Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и из каждого столбца, помноженное на +1, если подстановка, образованная индексами элементов, входящих в произведение, четна и на -1, если нечетна.

Определитель матрицы А обозначается через или det A, и если

то по определению

где значок сокращенного суммирования берется по всем перестановкам

Число можно рассматривать как определитель первого порядка. Определитель второго порядка можно вычислять по правилу:

Существует несколько правил вычисления определителей третьего порядка.

Правило треугольника:

схематически изображается следующим образом

Правило Саррюса заключается в том, что приписываем первую и вторую строчки снизу определителя.

Проводим главную диагональ и две линии ей параллельные. Проводим побочную диагональ и две линии ей параллельные. Перемножаем числа, стоящие на каждой из трех первых линий, и домножаем каждое такое произведение на +1. Произведение чисел, стоящих на побочной диагонали или линии ей параллельной, домножаем на -1. Сумма полученных шести слагаемых и есть определитель третьего порядка.

Разложение по первой строчке.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ. Матрица, у которой все элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, называется “треугольной”. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В самом деле, все произведения такого определителя равны нулю, так как содержат множитель ноль, кроме одного слагаемого