Передаточные функции дискретных систем

Чтобы найти передаточные функции дискретных систем, как и в случае непрерывных систем, необходимо первоначально определить передаточную функцию разомкнутой системы. Структурная схема на рисунке.

g x

T T

Передаточная функция

W(Z)= ,

Где X(z), G(z ) - изображение функций времени x(t), g(t). Рассмотрим первоначально простейший случай, когда D(z)=1. В этом случае последовательно соединены идеальный импульсный элемент, экстраполятор и непрерывная часть системы. Экстраполятор и непрерывная часть в совокупности образуют приведенную непрерывную часть, передаточная функция которой определяется выражением

W(s) =W_э(s) W₀(s)

Импульсной переходной функцией или функцией веса приведенной непрерывной части системы является оригинал изображения W(s)

k (t)=L^-1[W(s)]

Тогда можно записать

W (Z) =Z{k(t)}=Z{W(s)}.

Таким образом, чтобы найти передаточную функцию W(z) необходимо определить Z-преобразование передаточной функции приведенной непрерывной части.

Пусть в системе используется экстраполятор нулевого порядка. Тогда

W_э(s)=L{k_э(t)}= .

k_э

₁

0 g T T t

k_э(t)=1(t)-1(t-T)

L[1(t)]=

L[1(t-T)]=e^-TS( ), т.е. W_э(S)= ,

(если импульсный элемент формирует импульсы с последовательностью g, то W_иэ(S)= )

В этом случае

W(s) =(1-e^-Ts) =W₁(e^-Ts) .

Для отыскания Z-преобразования функции времени, заданной преобразованием Лапласа в такой форме можно воспользоваться выражением

Z{W(s)}=W₁(z)Z{ }

Поэтому

W(z)= Z{ }=

Z-преобразование Z { } находится путем разложения рациональной дроби на простые с дальнейшим использованием таблиц Z-преобразований.

Пример.

Пусть =

Тогда пользуясь таблицей, будем иметь

W(z)=K Z{ } =K [ ] ,

где d=e^{-( )}

Для большинства цифровых систем управления D(z)¹1. В этом случае

W (z)=D(z)Z{W(s)}),

т.к. ЭВМ или цифровое управляющее устройство, осуществляя модуляцию последовательности входных d-функций, не изменяет дискретной природы сигналов.

В любой момент времени nT ЭВМ в соответствии с алгоритмом работы определяет и выдает на выход числовую величину, получаемую в общем случае по значениям входного и выходного сигналов в данный и предшествующие моменты времени.

x₁ x₂

x₂(n)= a_ix₁(n-i)- b_ix₂(n-i) (*)

где i- целое положительное число

Учитывая, что

Z{f[n-i]}=Z^-IF(z), где F(z)=Z{f[n]}

Можно записать, что

D(Z)= и применяя к (*) Z-преобразование

X₂(z)= a_iz^-iX₁(z)- b_iz^-iX₂(z) или

X₂(z)= b_Iz^-i=X₁(Z) a_iz^-i,

где b₀=1

Откуда D(Z)=

Умножив числитель и знаменатель на z^l , получим

D (Z)=

Пример

Пусть ЭВМ реализует функцию корректирующего устройства с алгоритмом

X₂[n]=d₁x₁[n]+d₂Ñx₁[n]=d₁x₁[n]+d₂{x₁[n]-x[n-1]}=

=(d₁+d₂)x[n]-d₂x[n-1]=a₀x[n]-a₁x[n-1]

X₂[Z]= a₀X₁[z]- a₁z^-1X₁[z];

Тогда

D(Z)= a₀-a₁z^-1=

Зная D(z) всегда можно определить W(z).

Рассматривая полученные выражения, следует учитывать особый вид дискретной передаточной функции, которую не следует путать с обычной передаточной функцией непрерывного звена, т.к. W(z)¹W(s) при замене в последней символа s на z.

Для систем с единичной обратной связью, если W(z) представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы

Ф(z)=

и передаточную функцию по ошибке

Ф_e(z)=

и по возмущению

Ф_f(z)=

Знаменатель рассмотренных передаточных функций замкнутой системы называется ее характеристическим полиномом. Обычно изображения входных сигналов и передаточные функции представляют собой дробно-рациональные функции z. Они позволяют использовать различные оценки качества систем регулирования.