Определение процессов в импульсных системах при типовых воздействиях.

При исследовании импульсных САР обычно интересуются процессами, возникающими на выходе системы при некоторых типовых воздействиях, приложенных ко входу. Ими являются , например еденичное ступенчатое или гармоническое воздействие.

Применим Z-преобразование для определения реакции импульсной системы на указанные воздействия при нулевых начальных условиях.

Пусть передаточная функция замкнутой системы Ф(z,e) .

Изображение g(t)=1[t].

G[z] =Z{1[t]}=z/(z-1)

В этом случае процесс на выходе системы можно определить по формуле

x [n,e]=Z^-1{Ф(z, e)·G(z)} или

x [n,e]=Z^-1{Ф(z, e)·z/(z-1))}

Для вычисления обратного Z-преобразования воспользуемся формулой (теорема вычетов)

	x [n,e]= Res Ф(z,e) ·z/(z-1) n·zn-1½z=z

где вычеты берутся в полюсе z₀=1 и в полюсах передаточной функции Ф(z, e). Будем предполагать (для простоты изложения) что все полюсы ненулевые.

Найдем вычет в точке z₀=1 по формуле

.

Далее определим вычеты в полюсах передаточной функции Ф(z,e). Для простых полюсов получим

Учитывая, что Ф(z,e) является дробно-рациональной по отношению к переменной z и обозначая

Ф(z,e)= B(z,e)/ A(z) ,

где A(z) и B(z) – полиномы относительно z

и, представляя

,

найдем

т.к.

.

В результате получим

,где

.

Полученное выражение характеризует реакцию импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие. Первое слагаемое, описывает установившийся процесс в системе, а второе - переходный.

Действительно, определим

Аналогично можно найти реакцию системы на гармоническое воздействие

g[n]=A₁cos( ₁n+j) , получим , после окончания переходного процесса, установившийся процесс.

x_y[n,e]=A₁| Ф(j ,e)| ·cos[ ₁n+ j+arg Ф(j ,e)]

Функция Ф(j ,e) получающаяся из передаточной функции Ф(e^q,e) при q=j , называется амплитудно-фазовой частной характеристикой импульсной системы. Физический смысл тот же, что и в непрерывных системах.

В отличие от непреывных систем , частотные характеристики импульсных систем являются периодичискими функциями с периодом 2p, что следует из периодичности изображений

Ф(j ,e)=Ф[j( +2pr),e] (r=0,±1,±2...,)

Поэтому частотная характеристика Ф (j ,e) полностью определяется своими значениями в интервале шириной 2p. Обычно рассматривают интервал -p< £p. Импульсная система при 0<e£1 описывается семейством частотных характеристик. Однако при исследованиях, в ряде случаев достаточно знать частотную характеристику только при одном значении e=1.