Свойства Z-преобразования.

1. Свойство линейности. Для краткости записи приводим при e=0. Равенства справедливы и при e¹0.

Если решетчатые функции f₁[n], f₂[n]… f_k[n] являются оригиналами и их изображения соответственно F₁(z), F₂(z)…F_k(z), то справедливо равенство

Z{ l_nf_n[n]}= l_nF_n(z), где l_n-произвольная постоянная.

Пример. Найти изображения тригонометрических решетчатых функций sin vn и cos vn (n³0)

Z{ sin vn}= Z{l^jvn- l^-jvn}= [Z{ l^jvn }-Z{ l^-jvn }]

Используя результаты предыдущего примера, получим

Z{ sin vn }= [ - ]= [ ]=

(T=1)

Аналогично для косинуса

Z{ cos vn }=

2. Теорема смещения. Для функции времени f(t-t), где t- положительное число, причем 0£e< и f(t-t)º0 при t<t<x

Z{f(t-t)= Z^-(1+m)F(z, 1+e-x)},

Здесь m- целая, x- дробная часть числа , а

F(z, e)= Z{f(t)} (*)

Если x£e<1, то изображение равно

Z{f(t-t)}=Z^-mF(z, e-x).

В частном случае запаздывание может составлять целое число периодов дискретности т.е.

t=mT. Тогда

Z{f(t-mT)=z^-mF(z, e)}

3. Теорема об умножении оригинала f(t) на экспоненту.

Если для оригинала f(t) изображение определяется формулой

F(z,e)=Z{f(t)}(*) определяемой в дискретные моменты времени t=nT+e, то

Z{e^lT f(t)}= d^eF( , e), где l- комплексное число, а d=e^lT

4. Теорема об умножении оригинала на смежную функцию.

Пусть для оригинала f(t) изображение определяется формулой (*), тогда для e=0 имеем

Z{t^mf(t)}=(-1)^m ½_e^qT=_Z

5. Изображение конечных разностей.

Z{D^kf[n,e]}=(z-1)^kF(z,e)-

Если дискретной последовательности f[n, e] соответствуют нули в первых k точках оси времени, т.е.

f[0, e]=f[1, e]=…f[(k-1), e)]= 0, то Dⁿf[0,n]=0 n=1,k-1

Тогда Z{D^kf[n,e]}=(z-1)^kF(z,e).

Для обратной разности справедливо выражение

Z{Ñ^k f[n, e]}= ( )^k F(z, e),

6. Изображение конечной суммы.

Если для оригинала f(t) изображение определяется формулой (*), то

Z{ f[n,e]}=

7. Сверка решетчатых функций.

Если Z{f₁[n,e]}=F₁(z,e);

Z{f₂[n,e]}=F₂(z,e), то

Z{ f₁[n,e]f₂[(n-n)],e}= Z{ f₁[(n-n),e]f₂[n,e]}=F₁(z, e)F₂(z, e)

8. Теорема о конечном значении оригинала.

Если f[n, e] - оригинал, а F(z, e)- изображение, то

lim f[n, e]=lim F(z, e)

n®¥ z®1

9. Теорема о начальном значении оригинала. При тех же условиях f[0,e]=lim F(z,e).

z®¥