Глава 5 Функции и отображения

Функцией называется функциональное соответствие.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то функция имеет тип А → В и обозначается f: А → В.

Отображением А в В называется всюду определенная функция f: А → В.

Отображением А на В называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональное соответствие f: А → В.

Отображение типа А → А называется преобразованием множества А.

Функция типа А → А, являющаяся отображением А на А, называется перестановкой на А.

Пример:

Возьмем функцию f(х) = sin x.Пусть тип функции f: R → R, тогда f(х) = sin x всюду определена, т.к. пр₁g = R,но не сюръективна, т.к. пр₂g ≠ R.

Следовательно, функция f является отображением R в R.

Если задать тип функции f: R→ [-1;1], то f будет являться отображением R на R.

Пусть дано соответствие gÍА×В.

Соответствие Н Í В А называется обратным к g (обозначается ­g ^-1),если Н таково ,что (b,а) Î Н тогда и только тогда, когда (а,b) Î g.

Функциональное соответствие, обратное к функции f: А→ В называется функцией, обратной к f (обозначается f ^-1).

Пусть даны функции f: A →B и g: В → С.

Функция h: А→ С называется композицией функций f и g (обозначается f·g), если имеет место равенство :

h(x)=g(f(x)), где хÎА.

Пример:

Чему равна композиция функций:

f(x)= 2^x и g(x)=log₂x.

Каковы области определения функций и их композиций?

Решение:

Пусть f(x)=2^x и g(x)=log₂x имеют тип R → R.

h₁=f·g=g(f(x))=log₂2^x =x.

h₂=g·f=f(g(x))=2^log2х.

пр₁f=R,пр₁g=R₊.

пр₁h₁=R, пр₁h₂=R₊.

Пример:

Пусть f и g имеют тип f: А²→ В; g: В³→ С.

Какой тип имеют функции h₁ и h₂, являющиеся композициями f и g:

h₁=g(x₁, f ( y₁, y₂ ), x₃).

h₂=g (f ( y₁, y₂ ), f( z₁, z₂ ), x₃).

Решение:

Функция h₁ содержит 4 аргумента и ее тип:

h₁: B×A²×B→ C или h₁: B²×A^2.

Функция h₂ содержит 5 аргументов и ее тип:

h₂: A²×A²×B или h₂: A⁴×B.