Присоединенная матрица и алгоритм ее составления

Для любой квадратной матрицы можно составить другую квадратную матрицу такого же порядка, называемую присоединенной к матрице , если каждый элемент a_ij исходной матрицы заменить его алгебраическим дополнением A_ij , а затем полученную матрицу этих алгебраических дополнений транспонировать.

Ex. Пусть дана исходная матрица порядка (3 ´ 3)

Чтобы составить присоединенную к ней матрицу , необходимо:

1. Найти для каждого элемента a_ij исходной матрицы их алгебраические дополнения A_ij и составить из них матрицу алгебраических дополнений

2. Транспонировать полученную матрицу алгебраических дополнений

(12)

12. Обратная матрица: условия ее существования
и алгоритм составления

Def. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при перемножении этих матриц получается единичная матрица той же размерности, т.е.

(13 )

Def. Матрица называется обратимой, если для нее существует обратная матрица .

Теорема. Матрица будет обратимой тогда и только тогда, когда она является квадратной и невырожденной матрицей

Обратная матрица определяется из соотношения

, (14)

т.е. алгоритм ее составления включает следующие шаги:

1. вычисляем определитель исходной матрицы , если он не равен нулю, то матрица является обратимой и можно переходить к следующему шагу;

2. используя п.10 данной темы составляем матрицу , присоединенную к исходной матрице ;

3. делим каждый элемент присоединенной матрицы на число , в результате получим искомую обратную матрицу .

Свойства обратной матрицы

1. Для взаимно обратных матриц выполняется переместительный закон умножения

2. При обращении обратной матрицы получается исходная матрица

Ex. Составить матрицу, обратную для

Решение

1.Составим и вычислим определитель исходной матрицы

Поскольку , то исходная матрица является обратимой.

2.Вычислим алгебраические дополнения A_ij для каждого элемента a_ij исходной матрицы и составим промежуточную матрицу алгебраических дополнений

3.Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, получим матрицу

, присоединенную к исходной матрице

4.Делим каждый элемент присоединенной матрицы на

Чтобы убедится в правильности выполненных расчетов, перемножим исходную и обратную ей матрицы, при этом получится единичная матрица

Обратные матрицы широко используются при решении систем линейных уравнений в матричной форме, при статистическом анализе массивов информации и решении других практических задач. Естественно, что составление обратных матриц связано с большими объемами арифметических вычислений и реализуется на ЭВМ при помощи специальных программ и процедур.