Определители 2-го и 3-го порядков, методы их вычисления

Def. Определителем 2-го порядка D⁽²⁾ называется число, представленное в виде квадратной таблицы из 4-х чисел и вычисляемое по формуле:

. ( 9 )

Ex. .

Def. Определителем 3-го порядка D⁽³⁾ называется число, представленное в виде квадратной таблицы из 9-ти чисел и вычисляемое по формуле:

D⁽³⁾ = = . ( 10 )

Ex.

9. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Общее правило вычисления определителей

Каждому элементу a_ij квадратной матрицы соответствуют некоторые числа, называемые минором M_ij и алгебраическим дополнением А_ij этого элемента.

Def. Минором M_ij элемента a_ij матрицы называется определитель матрицы, полученной вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент .

Def. Алгебраическим дополнением А_ij элемента a_ij матрицы называется число, связанное с минором этого элемента соотношением

( 11 )

Из (11) видно, что А_ij либо совпадает с M_ij, либо отличается только знаком.

Выражение генерирует чередование знаков по горизонтали и по вертикали, при этом в верхнем левом углу всегда будет знак «плюс» ( по своей структуре это напоминает шахматную доску). Пример «правила знаков» для определителя D⁽⁴⁾ приведен ниже

Общее правило вычисления определителя D⁽ⁿ⁾ (правило Лапласа): определитель n -го порядка D⁽ⁿ⁾ равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Таким образом, каждый определитель D⁽⁵⁾ можно разбить на 5 определителей D⁽⁴⁾ , а каждый определитель D⁽⁴⁾ - на 4 определителя D⁽³⁾ .
При этом имеется 2n различных вариантов разложения определителя D⁽ⁿ⁾
( по n строкам и по n столбцам).Обычно с целью уменьшения объема вычислений выбирают разложение D⁽ⁿ⁾ по элементам той строки ( столбца), которые содержат больше нулевых элементов.

Ex Разложить определитель D⁽⁴⁾ по элементам второй строки

Ex. Найти минор M_ij и алгебраическое A_ij дополнение элемента a_ij определителя D⁽⁴⁾

Решение

Полагая i =2 и j =3 и вычеркивая из определителя D⁽⁴⁾ 2-ю строку и 3-й столбец, имеем определитель 3-го порядка, равный минору M₂₃ , значение которого определим по формуле (10) путем разложения по элементам 3-й строки

M₂₃ =

Искомое алгебраическое дополнение А₂₃ элемента a₂₃ согласно (11) равно