Свойства определителя

2. Определитель матрицы не меняется при её транспонировании.

3. Определитель не меняется, если ко всем элементам некоторой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тот же число.

Коротко: к строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на любое число.

4. Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов).

5. Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

7. Определитель, имеющий равные строки (столбцы), равен нулю.

8. Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

10. Если элементы какой-либо строки определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Из этих свойств следует, что удобно считать определитель по той строке или тому столбцу, который содержит максимальное число элементов, равных нулю. Если нулевые элементы отсутствуют, то их можно получить, используя свойство 2.

1.5 Обратная матрица и ее нахождение

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка

Определение 1.10 Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю , иначе матрица А называется вырожденной.

Матрица называется союзной к матрице А, если ее элементы получаются по следующей схеме:

где – алгебраическое дополнение элемента данной матрицы А.

В первый столбец союзной матрицы записываются алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы А; во второй столбец – алгебраические дополнения к элементам второй строки матрицы А и т. д.

Например, для матрицы 3-го порядка союзной матрицей будет матрица вида

.

Напомним, что для каждого действительного числа существует обратное число такое, что произведение .

Тогда операцию деления на число можно свести к операции умножения на обратное число .

Действительно, .

Пользуясь этими соображениями, введем для квадратной матрицы понятие обратной матрицы.

Определение 1.11 Матрица называется обратной к матрице А, если выполняется условие где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.

Справедливо утверждение: всякая невырожденная матрица A имеет обратную матрицу , которую можно найти по формуле:

где - союзная матрица;

- определитель матрицы А.