Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, а Е – единичная матрица того же порядка.

Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если АВ=ВА=Е.

Теорема. Всякая матрица с отличным от нуля определителем (т.н. невырожденная матрица) имеет обратную и притом единственную.

Доказательство. Вычислим алгебраические дополнения A_ij всех n² элементов матрицы А, составим из них новую матрицу и транспонируем её. Получим т.н. союзную матрицу:

.

Рассмотрим произведение матриц А∙А^*=(с_ij). Его элементы вычисляются по формуле . Если i=j, то эта сумма равна определителю ∆=det(A) (по определению), если же i≠j, то она равна 0 (по свойству 9). Итак, матрица А∙А^* имеет вид

=∆∙Е.

Но тогда . Аналогично можно показать, что и А*А=∆·Е и .Все это означает, что матрица и есть обратная матрица по отношению к матрице А.

Докажем единственность. Пусть существует еще одна матрица С (кроме построенной выше В) такая, что СА=АС=Е. Тогда: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В, т.е. С совпадает с матрицей В. Теорема доказана.

Замечание. Матрицу обратную к матрице А, принято обозначать символом А^-1. В силу одного из свойств определителей.

Пример. Найти матрицу, обратную к данной

.

Решение. Убедимся, что матрица А невырожденная: Δ=а₁₁∙A₁₁=1∙(3∙5–3∙4)=3≠0. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Составляем союзную матрицу

.

Находим обратную матрицу

.