Некоторые свойства непосредственно следуют из определения определителя, другие доказываются с помощью метода математической индукции. Для определителей 2-го и 3-го порядков все эти свойства легко проверяются непосредственно.
1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: det(A)=det(A´).
Это свойство непосредственно вытекает из определения, ибо разложение det(A) по столбцу тождественно совпадает с разложением det(A´) по строке. Оно означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.
2. Если в определителе переставить местами две строки (два столбца), то определитель поменяет знак на противоположный. Если порядок определителя n=2, то определители
отличаются лишь знаком, т.е. свойство выполняется. Предположим, что это свойство справедливо для определителей (n–1)-го порядка и, опираясь на это, убедимся в справедливости свойства для определителя порядка n.
Разложим определитель порядка n по элементам какой-либо строки,
не принимающей участие в перестановке:
Заметим, что в этой формуле все миноры Mij – это определители (n–1)-го порядка. Перестановка двух строк в определителе Δ вызовет перестановку тех же строк (быть может, с другими номерами) и во всех минорах, что, по предположению индукции, приведет к изменению их знаков на противоположные. Но, если в сумме, стоящей в правой части (1), все слагаемые изменят знаки на противоположные, то и вся сумма, т.е. определитель, изменит знак. Свойство доказано.
3. Общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
Например, для определителя 3-го порядка это свойство выглядит так
Отметим одно свойство алгебраических дополнений (оно понадобится нам и в дальнейшем):
Если два определителя отличаются лишь одной строкой, то алгебраические дополнения элементов этой строки у обоих определителей совпадают (ибо элементы рассматриваемой строки не участвуют в образовании алгебраических дополнений).
Пусть в данном определителе, который обозначим Δ1, элемент i-й строки имеют общий множитель λ. Определитель, получающийся из Δ1 вынесением этого множителя, обозначим Δ. Эти два определителя отличаются только i-й строкой, а значит алгебраические дополнения Aij (j=1,2,…,n) элементов этой строки у Δ1 и Δ совпадают. Поэтому .
Свойство доказано.
4. Определитель равен нулю, если: а) содержит строку (столбец), все элементы которой равны 0; б) содержит две равные строки (столбца);
в) элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.
Докажем б), для чего переставим местами две равные строки. С одной стороны определитель Δ не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный. Таким образом, Δ= – Δ , т.е. Δ=0.
5. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали (Докажите самостоятельно). В частности, определитель единичной матрицы равен 1.
6. Пусть каждый элемент i-й строки определителя Δ имеет вид aij=bij+cij. Тогда этот определитель можно представить в виде суммы двух определителей Δ1 и Δ2 , причем определитель Δ1 в i-й строке имеет элементы равные bij , а Δ2 – элементы cij(j=1,2,…,n), элементы же других строк определителей Δ1 и Δ2 совпадают с элементами исходного определителя Δ.
Например, для определителя второго порядка
Для доказательства этого свойства достаточно разложить определитель Δ по элементам i-й строки.
7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель λ.
Например, для определителя 2-го порядка:
.
Это свойство является следствием свойств 6, 3 и 4б.
Применяя это свойство, можно обратить в ноль все элементы какого-нибудь столбца, за исключением одного. Тогда разложение определителя по элементам этого столбца содержит только одно слагаемое и вопрос о вычислении определителя порядка n сразу сводится к вопросу о вычислении определителя порядка (n–1). Более того, используя это свойство, всякий определитель можно привести к треугольному виду, а затем воспользоваться свойством 5.
Пример. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду
.
Решение. Чтобы обратить в ноль элементы первого столбца, стоящие ниже главной диагонали, умножим 1-ю строку на (–2) и прибавим ко 2-й строке и одновременно умножим на 3 и прибавим к третьей строке. Получим:
.
Теперь с помощью 2-й строки можно обратить в ноль элементы 2-го столбца, стоящие ниже главной диагонали: Умножим 2-ю строку на 15 и прибавим к третьей. Получим:
.
Чтобы получить значение определителя, достаточно перемножить элементы главной диагонали: ∆=1∙(–1)∙(–14)=14.
8. Если А и В – квадратные матрицы одинакового порядка, то
det(AB)=det(A)·det(B).(Без доказательства).
9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.
Заметим, что, если Akj(j=1,2,…,n) – это алгебраические дополнения элементов k-й строки определителя
,
а c1, c2, … cn – произвольные числа, то сумма c1Ak1+c2Ak2+…+cnAkn есть не что иное, как разложение по к-й строке определителя
,
который получился из определителя Δ заменой элементов к-й строки числами c1, c2, …, cn. Но тогда сумма ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn (произведение элементов i-й строки на дополнения к-й строки) есть разложение определителя, который получается из Δ заменой элементов к-й строки элементами i-й строки. Но определитель с двумя равными строками равен 0 (свойство 4б). Итак, Свойство доказано.
10. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) являются линейно зависимыми, т.е. хотя бы одна из строк (столбцов) есть линейная комбинация остальных (без доказательства).
В частности, определитель 2-го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) пропорциональны.
.
.
.
.
.
,
,
Свойство доказано.