Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу

(1)

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице, и обозначаемую одним из символов: ∆, det(A) или

(2)

Как и для матриц, для определителей используется терминология: строки, столбцы, элементы определителя и т.п.

Если порядок матрицы (1) равен 1, т.е. матрица А=(а₁₁) состоит из одного числа, то положим det(A)=a₁₁.

Если порядок матрицы (1) равен 2, т.е. , то определителем второго порядка, соответствующим этой матрице, назовем число

а₁₁а₂₂– а₁₂а₂₁,

равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Итак, по определению

. (3)

Определитель (3) естественным образом возникает при решении системы уравнений

Если 1^е уравнение умножить на а₂₂, а второе на (–а₁₂) и почленно сложить, то из полученного равенства x₁ выражается как отношение двух определителей второго порядка, а именно:

.

Для неизвестного x₂ можно получить похожую формулу.

Прежде, чем давать определение определителя третьего порядка и т.д., введем два новых понятия.

В квадратной матрице n-го порядка (1) или в определителе n-го порядка (2) зафиксируем элемент a_ij и вычеркнем из нее элементы стоящие

в i-й строке и j-ом столбце. Из оставшихся элементов образуем определитель (n–1)-го порядка, назовем его минором элемента a_ij и обозначим M_ij .

Алгебраическим дополнением элемента a_ij назовем число

A_ij=(–1)^i+jM_ij .

Ясно, что пока мы можем вычислять миноры и дополнения для элементов матрицы третьего порядка: например, для

.

Вычислим алгебраические дополнения всех девяти элементов матрицы A=(a_ij) третьего порядка и составим шесть таких сумм:

(4)

Нетрудно проверить справедливость следующей теоремы

Теорема Лапласа. Все шесть сумм вида (4) равны одному и тому же числу.

Теперь мы можем дать определение: определителем третьего порядка, соответствующим матрице A=(a_ij) третьего порядка, называют общее значение сумм (4).

Выпишем подробнее одну из сумм:

Эту формулу называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки (аналогичные названия есть и для остальных пяти сумм вида (4)).

Замечание. Для вычисления определителя 3-го порядка существуют (кроме определения) различные вычислительные схемы.

§5. Определитель порядка n

Если рассмотреть матрицу 4-го порядка A=(a_ij), то алгебраические дополнения ее элементов – это определители 3-го порядка (с точностью до знака). Мы уже умеем их вычислять. Для такой матрицы можно составить 8 сумм

Оказывается и здесь верна теорема Лапласа: все эти 8 сумм дают одно и то же число, которые и называют определителем 4-го порядка. После этого можно дать определение определителя 5-го порядка и так далее. И, вообще, можно дать следующее индуктивное определение определителя порядка n.

Определителем порядка n, соответствующим квадратной матрице A=(a_ij), называется число, вычисляемое по любой из 2n формул:

Это определение корректно, ибо можно доказать, что все 2n сумм в формулах (1) и (2) дают одно и то же число (теорема Лапласа).

Формула (1) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а формула (2) – разложением определителя по элементам j-го столбца.

Приведем пример вычисления определителя четвертого порядка. Очевидно, что для разложения надо выбирать строку (или столбец), в которой много нулей.

Исходный определитель разлагали по 3-му столбцу, а миноры M₁₃ и M₃₃ – по 2-й строке.