Линейная зависимость и независимость вектор-столбцов

и вектор-строк

Рассмотрим несколько m-мерных столбцов, элементы которых будем индексировать двумя индексами

, , … , (1)

Как и любые матрицы их можно умножать на числа и складывать. Пусть λ₁, λ₂,…, λ_n – некоторые числа.

Вектор-столбец вида С= λ₁A₁+ λ₂A₂+…+ λ_nA_n называется линейной комбинацией вектор-столбцов А₁, А₂,…, А_n, а числа λ₁, λ₂,…, λ_n называются коэффициентами линейной комбинации.

Очевидно,

Для понятия линейной зависимости и независимости существует два определения, равносильность которых принимаем без доказательства.

1. Вектор-столбцы называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных. Вектор-столбцы называются линейно независимыми, если ни один из них не являются линейной комбинацией других.

2. Вектор-столбцы А₁, А₂,…, А_n называются линейно зависимыми, если существуют числа λ₁, λ ₂, …, λ _n, не равные 0 одновременно, такие, что

λ₁A₁+ λ₂A₂+…+ λ_nA_n = 0. (2)

Вектор-столбцы А₁ А₂,…, А_n называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно лишь при λ₁=λ₂=…=λ_n=0.

Заметим, что в (2) правая часть – это нулевой столбец.

Например, столбцы и – линейно независимы, ибо их линейная комбинация имеет вид

λ₁A₁+ λ₂A₂+ λ₃A₃=

и равна нулевому столбцу, если только λ₁=λ₂=λ₃=0. Столбцы же – линейно зависимы, ибо А₃=2А₁+А₂.

Для двух столбцов линейная зависимость равносильна пропорциональности их элементов.

Вопрос о линейной независимости и зависимости столбцов (1) в силу определения 2 равносилен вопросу: имеет ли однородная система линейных уравнений

только нулевое решение или еще и не нулевые решения.

Очевидно, что во всех приведенных выше рассуждениях термин “столбцы” можно заменить термином “строки”.

ЛЕКЦИЯ 2