Свойства матриц.

1. Операция сложения матриц обладает свойством коммутативности

.

2. Операция сложения матриц обладает свойством ассоциативности

.

Из данных свойств вытекает, что при суммировании конечного числа матриц слагаемые можно писать в любом порядке, а скобки, определяющие порядок суммирования, расставлять произвольно.

3. Существует единственная матрица X такая, что если прибавить её к произвольной матрице A, то матрица A не изменится, то есть

.

Матрица, удовлетворяющая этому условию, является единственной, и все её элементы есть нули. Такая матрица называется нулевой и обозначается

.

4. Для всякой матрицы A существует единственная матрица Y такая, что сумма этих матриц равна нулевой матрице, то есть

.

Все элементы матрицы Y равны элементам матрицы A, но имеют противоположные знаки, поэтому

.

Матрицу Y обозначают –A и называют матрицей, противоположной к матрице A, то есть

.

Определение. Разностью двух матриц одинаковой размерности называется такая матрица C, для которой справедливо равенство . Разность всегда существует и равна сумме .

5. Если a и b – числа, A – матрица, то справедливы соотношения

.

6. Если a – число, A и B – матрицы одинакового размера, то справедливо равенство

.

7. Если a и b – числа, A – матрица, то справедливо равенство

.

8. Произведение единицы на любую матрицу не изменяет этой матрицы, то есть

.

9. Если a – число, A и B – матрицы размерности соответственно , , то справедливо соотношение

.

10. Операция умножения матриц обладает свойством ассоциативности (при умножении матриц скобки, определяющие порядок выполнения умножения, можно расставлять произвольно), то есть

,

где размерности матриц A, B и C равны соответственно .

11. Среди всех матриц размера существует единственная матрица E такая, что её произведение на произвольную квадратную матрицу A слева или справа не изменяет матрицу A

.

Матрицей E является матрица, у которой элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы – нули, то есть

.

Матрица E называется единичной.

Определение. Скалярной матрицей называется такая матрица, у которой на главной диагонали расположены одинаковые элементы, а остальные элементы – нули. Легко заметить, что

.

12. Операция умножения матриц обладает свойством дистрибутивности относительно сложения, то есть

.

Из свойства 4. следует, что умножение матриц дистрибутивно относительно вычитания, то есть

.

Операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности. Например

.

.

.

При перемножении матриц A и B надо указывать порядок выполнения операции умножения. Например, в случае произведения AB указывается, что матрица B умножена на матрицу A слева, а в случае произведения BA – что матрица B умножена на матрицу A справа.

Пусть имеется матрица, состоящая из одного столбца, то есть размера ,

.

Тогда транспонированная одностолбцовая матрица будет состоять из одной строки (имеет размер ):

.

Матрицы, состоящие из одного столбца, называются матрицами-столбцами или векторами-столбцами. Матрицы, состоящие из одной строки, называются матрицами-строками или векторами-строками. В общем случае и те и другие называются арифметическими векторами. Естественно, что векторы, как частный вид матриц, обладают всеми их свойствами.