Матрицы. Основные понятия и определения.

Прямоугольной матрицей A размера называется таблица чисел из строк и столбцов вида

.

В этой таблице первый индекс элемента означает номер строки, а второй - номер столбца, в которых он расположен. Элементами матрицы могут быть действительные или комплексные числа. В случае, когда , матрица называется квадратной и имеет вид

.

Определение. Две матрицы одинакового размера называются равными, если равны, если равны их соответствующие элементы. Пусть , ; тогда , если .

Определение. Транспонированной матрицей для матрицы A размера называется матрица размера , получаемая из матрицы A заменой её строк столбцами, то есть если

, то .

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется третья матрица C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц A и B, то есть

.

Определение. Произведением матрицы А на число λ (или числа λ на матрицу А) называется матрица C того же размера, что и А, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на число λ:

.

Определение. Произведением матрицы А размера на матрицу B размера называется такая матрица C, элементы которой определяются по формуле

, .

Следовательно,

.

Пример. Перемножить матрицы .

.

В ряде случаев необходимо вычислять транспонированную матрицу от произведения двух матриц. В этом случае справедливо равенство

.

Доказательство.Пусть . Согласно определению произведения матриц

.

В соответствии определением транспонирования . Для транспонированных матриц и аналогично найдём

.

Из сравнения результатов для произведений и следует справедливость доказываемого равенства.