Обратная матрица.

Определение. Матрицей обратной по отношению к квадратной матрице A размера , называется такая матрица той же размерности, для которой справедливы соотношения

.

Определение. Матрица Ã, составленная из алгебраических дополнений матрицы , называется взаимной (присоединённой) матрицей относительно A, то есть если

, то Ã .

Следующая теорема устанавливает единственность обратной матрицы.

Теорема 1. Если для данной квадратной матрицы размерности существует обратная матрица, то она является единственной.

Доказательство. Пусть для матрицы A существуют две обратные матрицы и . Тогда по определению обратной матрицы имеем:

.

Рассматриваем последнее из этих двух равенств. Умножив равенство слева на , получим для его левой части

.

Для правой части получаем , то есть , то есть обратная матрица единственна.

Определение. Квадратная матрица называется вырожденной или особой, если её определитель равен нулю. В противном случае квадратная матрица называется невырожденной или неособой.

Следующая теорема определяет условия, при которых обратная матрица существует.

Теорема 2. Для данной квадратной матрицы A тогда и только тогда существует обратная матрица , когда эта матрица невырожденная (без доказательства).

Обратная матрица вычисляется в соответствии со следующим равенством

Ã.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Определитель матрицы .

Транспонированная матрица .

Взаимная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений к транспонированной матрице) Ã= .

Обратная матрица .

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы .

Определитель матрицы

.

Транспонированная матрица .

Взаимна матрица B̃=

.

Обратная матрица .

При преобразованиях матричных выражений часто приходится находить обратную матрицу для произведения матриц . Определяется эта операция следующим образом

.

Определение. Целой положительной степенью квадратной матрицы A называется матрица , равная произведению n матриц A:

.

Определение. Целой отрицательной степенью квадратной матрицы A называется матрица , равная произведению n матриц, обратных к матрице A:

.