С тремя неизвестными и определителем равным нулю.

Здесь могут представиться два случая: а) хотя бы один из определителей , и отличен от нуля, б) все три вспомогательных определителя , и равны нулю.

В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств

,

а потому не будет иметь решений исходная система.

Рассмотрим теперь второй случай, когда все четыре определителя системы равны нулю. Здесь возможны два подслучая: решений не может быть вовсе или бесконечно много. Первый случай рассмотрим на примере конкретной системы уравнений

.

Эта система не имеет решений, поскольку из её уравнений быстро следует, что 2=3 и 3=5. Определители этой системы равны нулю (всегда имеются одинаковые столбцы, а то и пропорциональные строки)

.

Докажем теперь, что если неоднородная система из трёх уравнений с нулевым главным определителем имеет решение хотя бы одно, то она имеет бесконечно много решений.

Допустим, что рассматриваемая система имеет решение . Тогда справедливы тождества

.

Вычитая почленно из уравнений исходной системы данные, получим систему однородных уравнений

.

Эта система однородная относительно неизвестных , и и имеет главный определитель равный нулю. Согласно предыдущему параграфу она имеет бесконечно много решений. Следовательно, и исходная неоднородная система уравнений будет иметь решений бесконечно много. Решения последней однородной системы выглядят следующим образом

.

Откуда , где t принимает любые значения.

Теперь можно сделать следующее заключение: если у неоднородной системы из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными все определители равны нулю, то есть , то такая неоднородная система либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.