Обратимся к рассмотрению следующей системы уравнений
.
Очевидно, что эта система всегда имеет тривиальное решение 
. В случае, когда определитель системы 
. Это решение является единственным. Докажем теперь, что при 
однородная система из трёх уравнений имеет бесконечное множество решений. Рассмотрим определители второго порядка, которые можно составить из матрицы
.
Если окажется, что все они равны нулю, то это будет означать, что соответствующие коэффициенты всех трёх уравнений пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены. Первое же уравнение
имеет бесконечно много решений.
Остаётся рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы отличен от нуля. Опять считаем, что отличен от нуля определитель
.
Но тогда, как установлено ранее, система первых двух уравнений имеет бесконечное множество решений, определяемых формулами
.
Остаётся доказать, что данные формулы, определяющие решения первых двух уравнений, обратят в равенство и третье уравнение исходной системы.
Подставим в левую часть третьего уравнения неизвестные, вычисленные по приведённым формулам, будем иметь
.
Но определитель по условию, поэтому при любом t получаем
.
Итак, доказано, что однородная система из трёх уравнений с определителем Δ, равным нулю, имеет бесконечное множество решений.
