С определителем отличным от нуля.

Рассмотрим систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

,

все коэффициенты и свободные члены считаются заданными и могут принимать любые комплексные значения. Тройка чисел , и называется решением системы, если подстановка этих чисел вместо , и в систему обращает все три уравнения системы в тождества. Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре определителя:

.

Определитель называется главным определителем системы, определители , и называются вспомогательными и получаются из главного посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Для исключения из исходной системы неизвестных и умножим её уравнения соответственно на алгебраические дополнения , и элементов первого столбца определителя системы и сложим уравнения. В результате получаем

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого столбца равна определителю, а сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю, получим

.

Кроме того, посредством разложения определителя по элементам первого столбца, получаем

.

С помощью полученных результатов первое уравнение исходной системы переписывается в виде

.

Совершенно аналогично выводятся из исходной системы равенства (умножением элементов второго столбца на их алгебраические дополнения) и (умножением элементов третьего столбца на их алгебраические дополнения). Таким образом, исходная система уравнений приводится к следующему виду

.

В дальнейшем необходимо отдельно рассмотреть случаи:

1) определитель системы отличен от нуля,

2) определитель системы равен нулю.

Рассмотрим первый случай, . Тогда из полученной эквивалентной системы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера:

.

Итак, если у исходной системы главный определитель не равен нулю, то она имеет единственное решение, задаваемое формулами Крамера.

Пример. Решить систему уравнений

.

Вычисляем определители:

;

;

;

.

Теперь, используя формулы Крамера, находим решение

Теперь необходимо разобраться с решениями системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Однако предварительно надо познакомиться основательнее с однородными системами уравнений с тремя неизвестными, имеющими менее трёх уравнений. Только после этого можно будет получить решение неоднородной системы из трёх уравнений и нулевым главным определителем.