Алгебраические дополнения и миноры.

В определении определителя третьего порядка соберём члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем данный элемент за скобки. Величина, остающаяся в скобках, называется алгебраическим дополнением данного элемента.

.

Полученные равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Рассмотренные равенства принято называть разложением определителя по элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а последние три равенства - разложением определителя по элементам соответственно первого, второго или третьего столбца.

Минором данного элемента определителя - го порядка называется определитель - го порядка, получаемый из исходного определителя путём вычёркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, минор для элемента будет , для элемента будет и так далее.

Алгебраические дополнения и миноры связаны между собою в соответствующим правилом: алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число чётное, и со знаком минус – в противном случае.

Таким образом, алгебраическое дополнение и минор данного элемента определителя могут отличаться только знаком. Следующий рисунок даёт наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор данного элемента определителя

.

Установленная зависимость позволяет в формулах разложения определителя по элементам строк или столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры с нужными знаками. Например,

.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этого столбца (строки) равна величине определителя. Если же берутся соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки), то сумма равна нулю.

Докажем, например, что сумма произведений элементов второго или третьего столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Разложение по элементам первого столбца следующее

, где - алгебраические дополнения элементов первого столбца.

Так как алгебраические дополнения элементов первого столбца не зависят от самих элементов этого столбца, то в последнем разложении числа можно заменить произвольными числами , сохраняя при этом в определителе последние два столбца. Таким образом, при любых справедливо равенство

.

Беря теперь в этом равенстве в качестве сначала элементы второго столбца, а затем третьего столбца получаем

и

.

Определители равняются нулю, так как каждый из них содержит по два одинаковых столбца. Тем самым доказано, что сумма произведений элементов второго или третьего столбцов на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Аналогично можно доказать применимость этого свойства и для всех строк определителя и всех других столбцов.

Замечание. Все рассмотренные свойства определителей остаются справедливыми для определителей произвольного порядка.