Свойства определителей.

Свойства определителей, доказываемые в этом параграфе, справедливы не только для определителей третьего порядка, а они также справедливы и для определителей произвольного порядка.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, то есть

.

Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители и убедиться в их равенстве. Для первого определителя

.

Для второго

.

Сравнивая определители, убеждаемся, что они равны.

Данное свойство устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому все дальнейшие свойства определителя модно формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать их только для строк, или только для столбцов.

Определение. Операция замены строк столбцами в матрице или определителе называется их транспонированием. Обозначение

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на минус единицу.

Доказывается данное свойство расписыванием определителя. По определению

.

Поменяем в определителе местами, например, первые две строки и вычислим его

= .

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

В силу предыдущего свойства определитель меняет знак при перестановке двух строк. Однако, при перестановке двух одинаковых строк, определитель не должен изменяться, то есть , и одновременно. Это возможно только при .

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число .

Говоря иначе, общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя

.

Свойство доказывается расписыванием определителя.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего при .

Свойство 6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

В силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), а он равен нулю в силу свойства 3.

Свойство 7. Если каждый элемент n-ой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в n-ой строке (столбце) первые из слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах), а второй определитель имеет в n-ой строке (столбце) вторые из отмеченных слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах).

.

Доказательство производится расписыванием определителей.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

Полученный в результате указанного сложения определитель можно на основании свойства 7 разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в следствии пропорциональности элементов двух строк (столбцов) и свойства 6.