Двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

В случае действительных коэффициентов каждое из уравнений системы изображает на плоскости некоторую прямую. Поэтому отыскание решения такой системы эквивалентно отысканию координат точек, общих этим прямым. При этом возможны следующие случаи:

1) Прямые имеют единственную общую точку, то есть пересекаются. Алгебраически это означает, что система имеет единственное решение. Из ранее рассматривавшегося следует, что это имеет место в том и только том случае, когда главный определитель системы отличен от нуля или, по-друг ому, когда коэффициенты при и не пропорциональны (рис. 2.4.1).

2) Прямые параллельны. В этом случае алгебраическая система не имеет решения. Этот случай будет иметь место в том и только том случае, если коэффициенты при и

пропорциональны, а свободные члены нет. Иначе можно сказать, что в этом случае главный определитель системы равен нулю, а среди вспомогательных хотя бы один отличен от нуля (рис. 2.4.2).

3) Прямые совпадают. В этом случае алгебраическая система имеет бесконечно много решений. Решением будут координаты любой точки совпавших прямых. Согласно сказанному ранее это имеет место в том и только том случае, если коэффициенты при и и свободные члены пропорциональны. По-другому: все три определителя равны нулю, или уравнения полностью пропорциональны (рис. 2.4.3).

В случае однородной системы уравнений случай второй становится невозможным, поскольку вспомогательные определители здесь всегда нулевые. Остаются два случая:

1) Две прямые имеют в начале координат единственную точку пересечения. Здесь главный определитель не равен нулю, и система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение (рис. 2.4.4).

2) Две прямые проходят через начало координат и сливаются в одну. Каждая точка этих прямых, то есть её координаты, является решением системы, решений бесконечно много. Данное положение возникает при равенстве нулю главного определителя.