Пусть 
- отношение, заданное на А. Тогда выполняются следующие свойства:
1. 
рефлексивно тогда и только тогда, когда 
;
2. антирефлексивно тогда и только тогда, когда 
;
3. симметрично тогда и только тогда, когда 
;
4. антисимметрично тогда и только тогда, когда 
;
5. транзитивно тогда и только тогда, когда 
;
6. транзитивно тогда и только тогда, когда 
.
Докажем свойство 1: рефлексивно 
.
Необходимость: рефлексивно 
.
Достаточность: 
, рефлексивно. Свойство доказано.
Пусть и 
- отношения на множестве А. Отношение называется замыканием относительно свойства С, если
1. обладает свойством С, т.е. 
;
2. является надмножеством : 
;
3. является наименьшим: 
(любое 
, обладающее свойством С и содержащее в себе , содержит в себе также и ).
Например, рефлексивным замыканием отношения 
, заданного на множестве 
, является отношение 
, в то же самое время, как отношение 
таковым для 
не является.
Пусть 
- объединение положительных степеней , а 
- объединение неотрицательных степеней , т.е. 
и 
. Тогда - транзитивное замыкание , а - рефлексивное и транзитивное замыкание .
