Элементарные преобразования над матрицами. Алгоритм Гаусса.

Определение 1.Под элементарными преобразованиями над матрицей размера

понимают следующие действия.

1. Умножение любой строки (столбца) матрицы на любое ненулевое число.
2. Прибавление к любой i-й строке матрицы любой ее j-й строки, умноженной на произвольное число.
3. Прибавление к любому i-му столбцу матрицы любого ее j-го столбца, умноженного на произвольное число.
4. Перестановка строк (столбцов) матрицы.

Определение 2.Матрицы А и В будем называть эквивалентными, если одна из них может быть преобразована в другую с помощью элементарных преобразований. Будем писать .

Эквивалентность матриц обладает следующими свойствами:

1) рефлективностью, т.е. ;

2) симметричностью, т.е. , то ;

3) транзитивностью, т.е. , , то .

Определение 3. Ступенчатой называется матрица А обладающая следующими свойствами:

1) если i-я строка нулевая, т.е. состоит из одних нулей, то -я строка также нулевая;

2) если первые ненулевые элементы i-й и -й строк располагаются в столбцах с номерами k и l, то .

Пример. Матрицы

и

являются ступенчатыми, а матрица

ступенчатой не является.

Покажем, как с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу А к ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса. Рассмотрим матрицу А размера . Без ограничения общности можем считать, что . (Если в матрице А имеется хотя бы отличный от нуля элемент, то перестановкой между собой строк, а затем столбцов можно добиться, чтобы этот элемент попал на пересечение первой строки и первого столбца.) Прибавим ко второй строке матрицы А первую, умноженную на , к третьей строке – первую, умноженную на и т.д.

В результате получим, что

.

Элементы в последних строках определяются формулами:

, , .

Рассмотрим матрицу

.

Если все элементы матрицы равны нулю, то

и эквивалентная матрица ступенчатая. Если среди элементов матрицы хотя бы один отличен от нуля, то можно без ограничения общности можно считать, что (этого можно добиться перестановкой строк и столбцов матрицы ). Преобразуя в этом случае матрицу так же как матрицу А, получим

соответственно,

.

Здесь , , .

Продолжая эти преобразования далее, получим на k-ом шаге, что

причем , , … , . В матрице А т строк и чтобы привести ее к ступенчатому виду указанным способом, понадобится не более т шагов. Далее процесс может оборваться на k-ом шаге в том и только в том случае, если все элементы матрицы

равны нулю. В этом случае

причем , , … , .