Обратная матрица

Определение 1.Пусть дана квадратная матрица А п-го порядка. Квадратную матрицу того же порядка называют обратной к матрице А, если , где Е-единичная матрица п-го порядка.

Утверждение.Если существует матрица, обратная к матрице А, то такая матрица единственная.

Доказательство. Допустим, что матрица является не единственной матрицей, обратной к матрице А. Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

, .

Рассмотрим произведение . Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что . Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие «присоединенная матрица».

Определение 2. Пусть дана матрица

Матрица

элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А , называется присоединенной матрицей к матрице А.

Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Определение 3.Квадратная матрица А называется невырожденной, если .

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица определяется формулой

, (1)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Доказательство. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Тогда выполняются условия , из которых следует . Из последнего равенства получаем, что определители и . Эти определители связаны соотношением . Матрицы А и невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица А невырожденная. Докажем, что матрица А имеет обратную матрицу и она определяется формулой (1). Дя этого рассмотрим произведение

матрицы А и присоединенной к ней матрицы С.

По правилу умножения матриц элемент произведения матриц А и С имеет вид: . Так как сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-й строки равна нулю при и определителю при . Следовательно,

Поэтому

где Е – единичная матрица п-го порядка. Аналогично доказывается равенство . Таким образом, , а это означает, что и матрица является обратной к матрице А. Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (1).