Разложение определителя по строке или столбцу. Теорема Лапласа.

Пусть элемент определителя . Через обозначим дополнительный минор элемента . - это определитель -го порядка, полученный из определителя путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца. Через обозначим алгебраическое дополнение элемента . По определению .

Теорема 1.Определитель п-го порядка равен сумме произведений всех элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

,

.

Доказательство. Выберем какую-либо, например, i-ю, строку определителя и составим произведения .Каждое такое произведение является суммой различных членов определителя . При этом разные произведения и не имеют общих членов определителя , так как члены произведения из i-й строки имеют множитель , а члены произведения - множитель . Общее число членов определителя , входящих в произведения , равно и исчерпывает все члены определителя . Этим доказано равенство . Равенство для столбцов доказывается аналогично.

Теорема 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

Доказательство. В определителе п-го порядка выберем какую-либо, например, k-ю строку и вычислим разложение определителя по этой строке

.

Заменив в правой части этого разложения множители элементами i-й строки определителя , получим выражение

=0.

Здесь определитель равен нулю, как определитель с одинаковыми строками i-й и k-й, т.е. равенство , доказано.

Теорема 3 (теорема Лапласа). Пусть в определителе п-го порядка произвольно выбраны k строк (или столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю .

Следствие.

,

Доказательство. Разлагая этот определитель по теореме Лапласа по первым k строкам, получим: