Миноры и алгебраические дополнения.

Рассмотрим определитель п-го порядка

.

Выделим в нем произвольно k строк и k столбцов, где . Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечениях выделенных строк и столбцов, называют миноромk-го порядка определителя и обозначают М.

Если в определители вычеркнуть строки и столбцы на пересечении которых стоит минор М, то останется минор -го порядка, который называется дополнительным минором для минора М и обозначается .

Очевидно, что если минор является дополнительным к минору М, то и , наоборот, минор М является дополнительным к минору .

Определение 1. Если минор k-го порядка М расположен в строках с номерами и в столбцах с номерами , то назовем алгебраическим дополнением минора М число , где .

Утверждение. Произведение любого минора М k-го порядка на его алгебраическое дополнение представляет собой сумму различных членов определителя с теми же знаками, с какими они входят в определитель .

Доказательство. Докажем это утверждение для частного случая, когда минор М расположен в верхнем левом углу определителя:

,

т.е. в строках и столбцах с номерами . Тогда дополнительный минор будет расположен в правом нижнем углу определителя , т.е. в строках и столбцах с номерами . Алгебраическое дополнение в этом случае совпадает с дополнительным минором , так как число

является четным, т.е. .

Так как произвольные члены миноров М и имеют вид соответственно

с перестановкой и

с перестановкой , то произведение будет состоять из элементов

. (*)

Эти элементы являются членами определителя , так как сомножители взяты из разных строк и разных столбцов этого определителя и их количество равно п. Кроме того, число совпадает с числом инверсий в перестановке в силу того, что все , а все и никакой символ не может образовать инверсию ни с каким символом . Число членов вида (*) равно Этим доказана теорема в рассмотренном частном случае.