Основные свойства определителя.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. .

Доказательство. Сравним формулы

и

.

Произведения определителя и определителя одинаковые и имеют один и тот же знак, так как знак первого произведения зависит от числа инверсий перестановки индексов столбцов, а знак второго произведения зависит от числа инверсий той же перестановки, но индексов строк.

Из свойства 1 вытекает, что строки и столбцы равноправны, т.е. всякое утверждение относительно строк определителя верно и для его столбцов, и наоборот. Поэтому в дальнейшем будем формулировать и доказывать свойства определителя только для его строк. Аналогичные свойства определителя для столбцов также будут выполняться.

Свойство 2. Определитель, содержащий строку (столбец), состоящую из нулей, равен нулю.

Доказательство. Это следует из того, что каждый член определителя будет иметь множитель нуль из этой строки.

Свойство 3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказательство. Действительно, пусть дан определитель

.

Поменяем в нем строки с номерами и , получим новый определитель

.

Из формул видно, что произвольному члену определителя

.

соответствует перестановка , а произвольному члену определителя

соответствует перестановка . Эти перестановки отличаются друг от друга одной транспозицией, поэтому их четность разная. Следовательно, члены определителей и различаются лишь знаком и .

Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Доказательство. Это свойство следует из свойства 3. Пусть i-я строка равна j-ой строке. Если поменять эти строки местами, то знак определителя изменится на противоположный. При этом сам определитель не изменится (строки одинаковые). Следовательно, , а это возможно только если .

Свойство 5. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Пусть

,

рассмотрим определитель

следовательно .

Свойство 6.Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.

Доказательство. Пусть i-я строка пропорциональна j-ой строке определителя, т.е. , тогда

,

так как в этом равенстве последний определитель содержит две одинаковые строки.

Свойство 7. Если все элементы i-й строки (столбца) определителя представлены в виде суммы двух слагаемых: , , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й строки, такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов , а в другом – из элементов .

Доказательство. Действительно, так как , то

Свойство 8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (столбца) прибавляются соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Доказательство. Пусть в определителе к элементам i-й строки прибавлены соответствующие элементы j-ой строки, умноженные на число l. Получим определитель , т.е.