Понятие определителя.

Определителем (детерминантом) п-го порядка,соответствующим квадратной матрице

.

называется алгебраическая сумма членов вида . Эти члены представляют собой всевозможные произведения п элементов матрицы А, взятых из попарно различных строк и попарно различных столбцов. Сомножители в произведении записываются в порядке следования строк, поэтому номера столбцов образуют некоторую перестановку множества . Произведения берутся со знаком , где - число инверсий в перестановке . Определители обозначают одним из следующих символов:

, , , .

Кратко:

,

где суммирование проводится по всевозможным перестановкам множества ; - число инверсий в перестановке .

Поскольку число перестановок из п символов , то определитель п-го порядка состоит из слагаемых, причем половина из них, т.е. , входит в определитель со знаком «плюс», а половина – со знаком «минус».

Запишем формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Для матрицы всевозможных произведений будет :

1) берется со знаком «+», так как число инверсий и ;

2) берется со знаком «-», так как число инверсий и .

Для определителя 2-го порядка непосредственно по определению получаем формулу

,

которую легко запомнить по следующей схеме:

Пример. .

Для матрицы всевозможных произведений будет :

1) берется со знаком «+», так как число инверсий и ;

2) берется со знаком «+», так как число инверсий и ;

3) берется со знаком «+», так как число инверсий и ;

4) берется со знаком «-», так как число инверсий и ;

5) берется со знаком «-», так как число инверсий и ;

6) берется со знаком «-», так как число инверсий и .

Для определителя третьего порядка также непосредственно из определения получаем:

Чтобы запомнить эту формулу удобно воспользоваться схемой:

Пример.