Ну, а сейчас можно построить график.Воспользуемся графической палитрой, раскрыв которую выберем х-у график.
График строится довольно просто, нужно только указать переменную х в маркере оcи x и функцию f(x)
в маркере оси у. Заканчивается построение клавишей Enter или щелчком мыши вне графика.
Можно также явно указать начальное и конечное значение по осям в маркерах начала и конца оси, иначе они определяются автоматически. Выделив график двойным щелчком мыши, можно произвести настройку, в частности, определить тип, цвет и толщину линии, а также выбрать оси. Есть еще две интересные опции графической палитры:
Zoom - позволяет выделить часть графика,
Trace - отслеживает изменение координат на графике.
10. Декартова система координат. Большинство функциональных зависимостей строят в декартовых СК. Такими графиками удобно показывать закон изменения какой-нибудь величины относительно другой. По точкам. В этом случае задаются два столбца значений х и у и уже по ним на плоскости строят точки, соответствуюшие этим столбцам. Столбцы задаются нажатием на кнопку с изображением матрицы на панели Matrix. Что бы получить сам график нужно нажать на кнопку с изображением осей на панели Graph. В появившейся рамочке графика будут 2 незаполненых черных прямоугольничка - маркера. В один маркер, отвечающий за ординату, нужно поместить название матрицы-столбца, который должен быть отложен по оси ОУ. В другой (нижний) маркер помещают название другого столбца. Далее жмем enter и смотрим, что получилось.
Графики строятся еще и по функциональной зависимости. Записывается функция вида F=F(x) и в пустующие маркеры графической области вносятся соответственно название функции F(x) и ее аргумент.
11. MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных графиков. Для этого достаточно определить функцию f(x,y) и выполнить команду Insert -> Graph -> Surface Plot или нажать соответствующую кнопку наборной панели Graph (сочетание клавиш [Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности. Независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [-5,5].
12.Во многих случаях решение системы уравнений может быть найдено не только численно, но и аналитически. Для этого так же используется блок given и функция Find, но вместо знака равенства после функции следует поставить знак символического преобразования –> (Ctrl+.).
Given
«нужные уравнения 2+ »
Find(x,y) à «появится ответ»
Решение записано в виде матрицы. Каждый столбец соответствует паре (x,y), то есть найдены решения.
13. Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root. Аргументами этой функции являются выражение и переменная, входящая в выражение. Ищется значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Функция возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль. root( f(z), z) Возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.
Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.
Второй аргумент — имя переменной, которое используется в выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить выражение в ноль. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.
Алгоритм использования команды root
Определите начальное значение переменной x. Введите x:3. Выбор начального приближения влияет на корень, возвращаемый Mathcad (если выражение имеет несколько корней).
Определите выражение, которое должно быть обращено в ноль. Для этого перепишите уравнение ex = x3 в виде x3 - ex = 0. Левая часть этого выражения и является вторым аргументом функции root
Определите переменную a как корень уравнения. Для этого введите a:root(x^3[Space]-e^x[Space],x).
Напечатайте a=, чтобы увидеть значение корня.
14. Для нахождения корней полиномов имеется встроенная функция polyroots(a). Аргументом функции является вектор коэффициентов полинома
i:=0..2, a:=1 polyroots ( будет написан ответ )
2 ( будет написан ответ )
Если в полиноме отсутствуют некоторые степени, то на соответствующих местах следует писать 0. Коэффициенты полинома могут быть и комплексными.
15.root от второй производной
16.17. Способы решения систем линейных алгебраических уравнений в основном разделяются на две группы:
1.точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы вычисления корней (матричный метод, правило Крамера, метод Гаусса и др.);
2.итерационные методы, позволяющие получать корни с заданной точностью путем сходящихся процессов.
Вследствие неизбежных округлений даже точные методы являются приближенными. При использовании итерационных процессов добавляется погрешность метода, а эффективность применения методов зависит от удачного выбора начального приближения и скорости сходимости процесса.
Обратите внимание, что в стандартной форме система линейных уравнений слева содержит слагаемые, содержащие только неизвестные величины, причем порядок следования аргументов в каждом уравнении должен быть строго одинаковым.
Матричный метод. Если обозначить через A матрицу коэффициентов через b – вектор-столбец свободных членов, x – вектор-столбец решений, то в общем виде решение системы в матричной форме
x = A–1b,
где A–1 – обратная матрица матрице A. Это решение возможно при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, т.е. detA = Δ ≠ 0.
Таким образом, для решения системы необходимо вычислить обратную матрицу A–1 и умножить ее слева на столбец свободных членов.
Правило Крамера. Формулы Крамера для вычисления корней системы линейных алгебраических уравнений не требуют обращения матрицы A, а используют основной Δ и вспомогательные Δ1,Δ2, ..., Δn
Здесь вспомогательный определитель Δj – это определитель матрицы коэффициентов, в которой j-й столбец заменен столбцом свободных членов Δ2=det(матрица)
Для вычисления корней по формуле Крамера требуется иметь процедуры для расчета определителя матрицы, так как трудоемкость ручного расчета при n > 4 весьма велика.
Одним из наиболее простых методов вычисления определителя является алгоритм, в основе которого лежит приведение путем элементарных преобразований исходной матрицы A к треугольному виду AΔ (все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю). Для преобразованной треугольной матрицы определитель пропорционален произведению элементов главной диагонали. Знак определителя матрицы A зависит от числа перестановок строк l и столбцов s при преобразовании к треугольной матрице
где aijΔ – элементы главной диагонали преобразованной матрицы; βk– множители, использованные при преобразовании матрицы.
Метод Гаусса. Наиболее часто используемым приемом решения систем линейных алгебраических уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. Метод заключается в преобразовании исходной системы
к эквивалентной, имеющей треугольную матрицу коэффициентов В преобразованной системе xn=dn , а остальные корни находятся на "обратном" проходе
Преобразование исходной системы (1.2) к системе с треугольной матрицей коэффициентов (1.3). Если a11 ≠ 0, то поделим первое уравнение на a11.
Затем из каждого последующего уравнения вычтем первое, умноженное на коэффициент при x1, тогда из системы всех этих уравнений исключим x1. Эту же процедуру повторим для системы уравнений 2...n, из которых исключена переменная x1, исключая из 3...n уравнений аргумент x2 и т.д.
18.19. Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее: Напечатать слово Given. Это
сообщает Mathcad , что далее следует система уравнений. Можно напечатать Given в любой комбинации символов верхнего и нижнего регистра и в любом шрифте. Теперь напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостовериться, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений . Аргументами функции являются переменные, относительно которых система решается. Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отображает символьный знак равенства. Щёлкнуть мышью на функции Find. Mathcad отображает решения для системы уравнений справа от стрелки. Если функция Find имеет один аргумент, Mathcad возвращает один результат. Если Find имеет более одного аргумента, Mathcad возвращает вектор результатов. Например, Find(x, y) возвращает вектор, содержащий выражения для x и y , который является решением системы уравнений. Если система является переопределенной нелинейной, то функция Find не будет возвращать решение. В этом случае используется функции Minerr вместо Find. Minerr будет возвращать ответ, который минимизирует невязку при заданных ограничениях.
20.24.25. К символьным операциям с выделенными выражениями относятся следующие
1) Evaluate (Вычислить) — преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю,
2)Simplify (Упростить) — упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д,
3)Expand (Разложить — раскрыть выражение [например, для по степеням) (Х+ Y) (Х- Y) получаем X2- Y2},
4)Factor (Разложить — разложить число или выражение на множители [например X2-Y2 даст (X+ Y) (X-Y)],
5)Collect (Разложить — собрать слагаемые, подобные выделенному по подвыражению) выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное от носительно выбранного выражения),
6)Polynomial Coefficients — найти коэффициенты полинома по заданной (Полиномиальные переменной, приближающего выражение, коэффициенты) в котором эта переменная использована К числу операций с выделенными переменными относятся
7)Solve (Решить — найти значения выделенной переменной, относительно переменной) при которых содержащее ее выражение становится равным нулю (решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной);
8)Substitute (Заменить — заменить указанную переменную содержимым буфера обмена; Differentiate — дифференцировать все выражение, содержа- (Дифференцировать выделенную переменную по отношению по переменной) к этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);
9) Integrate (Интегрировать — интегрировать все выражение, содержащее по переменной) выделенную переменную, по этой переменной;
10) Expand to Series... — найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделен ной переменной; 11)Convert to Partial Fraction — разложить на элементарные дроби выражение (Разложить на элементарные дроби) которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.
21. Вычислять полные производные выражений любой сложности в MathCAD'е так же просто, как вычислять пределы. Для этого на все той же панели Calculus присутствует специальная кнопка, при нажатии на которую появляется оператор вычисления производной, который, как и в матанализе, имеет запись d/dx. Вместо x, конечно, может стоять любая другая переменная. Выражение, для которого мы должны рассчитать производную, должно записываться после оператора ее вычисления. Как и в случае с пределом, для получения результата мы должны воспользоваться оператором аналитического вычисления значения производной.
22. В Mathcad есть символьный оператор вычисления неопределенных интегралов
23. При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую. Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
26. Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Matrix (Матричные операции ), которая имеет свое подменю со следующими операциями :
Transpose (Транспонировать) — получить транспонированную матрицу;
27. Для выполнения программы-функции необходимо обратиться к имени программы-функции с указанием списка фактических параметров (если в описании программы присутствует список формальных параметров), т.е.
< имя - программы > (список фактических параметров)
Фактические параметры указывают при каких конкретных значениях осуществляются вычисления в теле программы. Фактические параметры отделяются друг от друга запятой. Очевидно, что между фактическими и формальными параметрами должно быть соответствие по количеству, порядку следования и типу. Последнее соответствие означает:
· если формальным параметром является простая переменная, то в
качестве фактического может использоваться константа, переменная,
арифметическое выражение;
· если формальным параметром является вектор или матрица, то
фактическим должен быть вектор или матрица;
· если формальным параметром является имя встроенной функции или
другой программы, то и фактическим параметром должен являться тот же
объект.
Обращение к программе-функции должно находиться
после описания программы-функции и к моменту обращения фактические
параметры должны быть определены.
28.Действие условного оператора if состоит из двух частей. Сначала проверяется логическое выражение (условие) справа от него. Если оно истинно, выполняется выражение слева от оператора if. Если ложно - ничего не происходит, а выполнение программы продолжается переходом к ее следующей строке.
otherwise используется совместно с одним или несколькими условными операторами if и указывает на выражение, которое будет выполняться, если ни одно из условий не оказалось истинным
29.Операторы цикла (for, while, break)В языке программирования MathCAD имеются два оператора цикла: for и while. Первый из них дает возможность организовать цикл по некоторой переменной, заставляя ее пробегать некоторый диапазон значений. Второй создает цикл с выходом из него по некоторому логическому условию.
30. Операторы цикла( continue, return, on error).Иногда необходимо досрочно завершить цикл, т. е. не по условию в его заголовке, а в некоторой строке в теле цикла. Для этого предназначен оператор break. Чтобы четче обозначить границы завершения тела цикла, в его конце может использоваться дополнительная строка с оператором continue, который вводится одноименной кнопкой панели Programming. Если для определения переменной или функции применяется программный модуль, то его строки исполняются последовательно при вычислении в документе этой переменной или функции. Соответственно, по мере выполнения программы рассчитываемый результат претерпевает изменения. В качестве окончательного результата выдается последнее присвоенное значение. Чтобы подчеркнуть возврат программным модулем определенного значения, можно взять за правило делать это в последней строке программного модуля. Вместе с тем, можно прервать выполнение программы в любой ее точке (например, с помощью условного оператора ) и выдать некоторое значение, применив оператор return. В этом случае при выполнении указанного условия значение, введенное в местозаполнитель после return, возвращается в качестве результата, а никакой другой код больше не выполняется. Вставляется в программу оператор return с помощью одноименной кнопки панели Programming (Программирование).Программирование в MathCAD позволяет осуществлять дополнительную обработку ошибок. Если пользователь предполагает, что выполнение кода в каком-либо месте программного модуля способно вызвать ошибку (например, деление на ноль), то эту ошибку можно перехватить с помощью оператора on error. Чтобы вставить его в программу, надо поместить линии ввода в ней в нужное положение и нажать кнопку с именем оператора on error на панели Programming ( Программирование ). В результате появится строка с двумя местозаполнителями и оператором on error посередине. В правом местозаполнителе следует ввести выражение, которое должно выполняться в данной строке программы. В левом - выражение, которое будет выполнено вместо правого выражения, если при выполнении последнего возникнет ошибка.
