Качество переходного процесса в линейных дискретных САУ можно оценивать по прямым показателям основной огибающей решетчатой функции y[nT] переходного процесса выходной регулируемой величины Y(z) при единичном ступенчатом задающем воздействии g[nT]=1[nT],имеющем Z–изображение G (z)=z/(z–1):
(2.6.4)
где W(z) – зет–функция передачи (ЗФП) разомкнутой САУ; Ф(z) – ЗФП замкнутой САУ.
Решетчатую функцию переходного процесса y[nT] можно вычислить по Y(z) с использованием формул обратного Z–преобразования, но эти преобразования сложны для практического использования. Поэтому на практике удобнее применять следующие два способа [1].
1-й способ. Функцию Y(z) (2.6.4) разлагают методом неопределенных коэффициентов на k простых составляющих, имеющих табличные Z–изображения и соответствующие решетчатые функции fi[nT], суммирование которых для линейных САУ дает решетчатую функцию переходного процесса
2-й способ. Функцию Y(z) (2.6.4) методом последовательного деления числителя на знаменатель разлагают в ряд по степеням z–i (i=0, 1, …, n), получая Y(z)= , по которому записывается решетчатая функция выходного процесса
Переходный процесс y[nT] также можно вычислить с использованием разложения дробно-рацональной функции Y(z) в ряд Лорана (делением числителя на знаменатель) при единичном коэффициенте при высшей производной знаменателя для вычисления дискретных значений решетчатой функции y[nT] непосредственно по коэффициентам числителя и знаменателя функции Y(z).
Пример 2.6.2. Представим разложение в ряд Лорана дробно-рациональной функции (2.6.4) переходного процесса выходной управляемой величины Y(z) при единичном задающем воздействиив замкнутой САУ с периодом квантования Т=0,1 с, имеющей вид:
(2.6.5)
Правильность вычисления решетчатых функций переходных процессов удобно проверять по начальным и конечным значениям функций. Нулевое начальное значение переходного процесса при единичном ступенчатом задающем воздействии G(z)=z/(z-1) и нулевых начальных условиях определяется по теореме о начальном значении функции [1]:
Конечное установившееся значение решетчатой функции переходного процесса по теореме о конечном значении функции определяется по формуле [1]:
(2.6.7)
Решетчатая функция переходного процесса вычисляется делением числителя на знаменатель с единичным коэффициентом при высшей производной:
По (2.6.9) качество переходного процесса имеет следующие показателями (рис. 2.6.1):
1) время переходного процесса (по вхождению y(t) в зону 5%–отклонений) tПП = 0,7с и заканчивается на седьмом шаге, где y(t) изменяется от 1,108 до 1,04;
2) величина перерегулирования σ составляет (1,16–1)/1=0,16 или 16%;
3) время достижения максимума y(t) равно tM = 0,5 с;
4) количество колебаний – одна полуволна.
Рис. 2.6.1. Переходный процесс в САУ.
Рис.2.6.1. Переходный процесс в дискретной САУ
Пример 2.6.3. Устойчивость и качество переходных процессов зависят от параметров САУ, особенно от периода квантования Т. Рассмотрим переходный процесс в САУ, где ЗФП разомкнутой САУ зависит от Т: W(z)=KT/(z–1). При единичном задающем воздействии g[nT]=1[nT], G(z)=z/(z-1) переходный процесс в замкнутой САУ запишется в виде:
(2.6.10)
При KT ≥ 2 модуль корня характеристического уравнения выйдет за пределы единичной окружности и САУ станет неустойчивой.
Вычислим решетчатую функцию y[n] разложив функцию (2.6.9) в ряд Лорана:
(2.6.11)
По (2.6.10) при разных значениях K, T и КТ получаются различные переходные процессы.
На рис. 2.6.2 показан вид переходных процессов при значениях параметра KT=0,5 (кривая 1), KT=1 (кривая 2), KT=1,5 (кривая 3).
y[nT]
1,5
3
1,0
2
0,5
0 1Т 2Т 3Т 4Т 5Т 6Т nT
Рис. 2.6.2. Зависимость качества переходного процесса от KT
При KT=1получается оптимальный переходный процесс без перерегулирования, заканчивающийся за один дискретный шаг 1Т (кривая 2), поскольку в Ф(z) имеется нулевой полюс. При уменьшении KT=0,5 в 2 раза возникает медленно затухающий процесс (кривая 1) с возрастанием времени затухания до 5Т. При увеличении KT=1,5 в 1,5 раза возникает колебательный затухающий процесс (кривая 3) с перерегулированием 50% и увеличением времени затухания до 7Т.
Пример 2.6.4. В одноконтурной САУ (рис. 2.1.1, б) с ЗФП ЭВМ и ОФП ОУ где , определить ошибку при задающем сигнале и значение периода квантования Т, при котором переходный процесс заканчивается за один шаг. ЗФП разомкнутой САУ будет [1]:
(2.6.12)
ЗФП замкнутой САУ будет [1]: (2.6.13)
Из (2.6.13) замкнутая САУ устойчива при , когда корень z1 характеристического уравнения расположен внутри единичной окружности . Из условия устойчивости получаем . Для завершения процесса за один шаг нужно иметь при и оптимальном
Установившаяся ошибка по (2.6.1) будет [1]:
(2.6.14)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бейнарович В.А. Основы автоматики и системы автоматического управления: Учебник для вузов. – Томск: В-Спектр, 2009. – 352 с. ISBN 978-5-91191-090-7.
2. Бейнарович В.А. Практикум по расчетам систем автоматического управления. – Томск: В-Спектр, 2009. – 159 с. ISBN 978-5-91191-096-9.
(2.6.4)
, по которому записывается решетчатая функция выходного процесса 
(2.6.5)
(2.6.7)
(2.6.8)
(2.6.9)
(2.6.10)
выйдет за пределы единичной окружности и САУ станет неустойчивой.
(2.6.11)
y[nT]
3
1,0
2
и ОФП ОУ 
где 
, определить ошибку 
при задающем сигнале 
и значение периода квантования Т, при котором переходный процесс заканчивается за один шаг. ЗФП разомкнутой САУ будет [1]:
(2.6.12)
(2.6.13)
, когда корень z1 характеристического уравнения расположен внутри единичной окружности 
. Из условия устойчивости получаем 
. Для завершения процесса за один шаг нужно иметь 
при 
и оптимальном 
(2.6.14)