Расчет устойчивости дискретных САУ

Расчет устойчивости дискретных САУ с единичной обратной связью основан на использовании их характеристического уравнения M(z)=0, полученного из знаменателя ЗФП Ф(z) замкнутой дискретной САУ или из выражения M(z)=1+W(z)=0, где W(z) – зет–функция передачи (ЗФП) разомкнутой цепи САУ.

2.5.1. Оценка устойчивости по корням уравнения M(z)=0

Оценка устойчивости замкнутой САУ по расположению корнейхарактеристического уравнения M(z)=0 внутри единичного круга на комплексной плоскости Z–корней производится следующим образом. Характеристическое z–уравнение замкнутой САУ представляется в виде [1]:

(2.5.1)

При отсутствии кратных корней в (2.5.1) решение однородного характеристического Z–уравнения замкнутой САУ описывает свободную составляющую дискретного переходного процесса [1]:

(2.5.2)

где C_i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, z_i – корни характеристического уравнения, количество которых i равно порядку q характеристического уравнения.

Из (2.5.2) видно, что при всех корнях с модулем с течением времени при n→∞ свободная составляющая переходного процесса затухает, что свидетельствует об устойчивости замкнутой САУ. Недостатком данного метода исследования устойчивости САУ является необходимость вычисления корней характеристического уравнения, что затруднительно для уравнений выше третьего порядка.

Пример 2.5.1. Определим устойчивость замкнутой импульсной САУ с единичной обратной связью (рис. 2.1.1, а) из примера 2.3.2, имеющей ЗФП (2.3.11), из которой характеристическое уравнение записывается в виде:

(2.5.3)

Решив уравнение (2.5.3), находим корни характеристического уравнения:

(2.5.4)

Оба корня имеют модули меньше единицы, что соответственно выражению (2.5.2) указывает на устойчивость замкнутой САУ при n→∞.