Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.
Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аÎА, а если b не принадлежит А, то – bÏА. Например, пусть А – множество четных натуральных чисел, тогда 6ÎА, а 3ÏА.
Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хÎА, то хÎB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АÍВ (Í – символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде
(АÍВ и ВÍА) Û (А = В).
Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.
1. Доказательство включения АÍВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.
(" x Î А) Þ (x Î В).
2. Доказательство равенства А = В. Оно сводится к доказательству двух включений А Í В и В Í А.
Определим следующие операции над множествами.
1. Объединение. Пусть А и В – произвольные множества. Их объединением называется множество С = А È В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
2. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих А и В. Обозначается так: C = A Ç B.
3. Разность. Разность множеств А и В – это множество С (С = А \ В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Если В Í А, то разность С = А \ В называется дополнением В до А.
Считается, что все множества включены в некоторое множество U, которое называют универсальным множеством. В этом случае дополнение какого-либо множества А до U обозначается С(А) или .
4. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В – это множество
С = А D В = (А \ В) È (В \ А).
Задача 1. Доказать, что для любых множеств A1, A2, . . . , An если справедливы включения A1 Í A2 Í ... Í An Í A1, то A1 = A2 = ... =An.
Решение.
Задача 2. Доказать тождество
(AÇB) \ C = (A \ C)Ç(B \ C) = AÇ(B \ C) = (AÇB)\(AÇC).
Решение.
1) Пусть xÎ(AÇB)\C, тогда xÎAÇB и xÏC. Так как x принадлежит пересечению, то он принадлежит каждому из множеств. Следовательно, xÎA и xÏC, что означает xÎA\C. Аналогично из xÎB и xÏC следует, что xÎB\C. Так как x принадлежит обоим множествам, то xÎ(A\C)Ç(B\C). Следовательно, (AÇB)\CÍ (A\C)Ç(B\C).
2) Покажем теперь, что (A\C) Ç (B\C) AÇ (B\C). Так как xÎ(A\C)Ç(B\C), то xÎA\C и xÎB\C, а, следовательно, xÎA, xÎB и xÏC. Поэтому xÎB\C и xÎA, что и означает требуемое.
3) Пусть xÎAÇ(B\C), тогда xÎA, xÎB и xÏC. Следовательно, xÎAÇB и xÏAÇC. Но тогда по определению разности xÎ(AÇB)\(AÇC).
4) Пусть теперь xÎ(AÇB)\(AÇC), покажем, что xÎ(AÇB)\C. Из условия следует, что xÎAÇB и xÏAÇC. Первое свойство означает, что xÎA и xÎB, второе - xÏA или xÏC. Так как при xÏA получим противоречие, то остается лишь случай xÏC. Поэтому имеем xÎA, xÎB и xÏC. Но тогда xÎAÇB и xÏC и, следовательно, xÎ (AÇB)\C.
Таким образом, доказана цепь включений
(AÇB)\C Í (A\C)Ç(B\C) Í AÇ(B\C) Í (AÇB)\(AÇC) Í Í(AÇB)\C.
Для завершения доказательства остается воспользоваться результатами задачи 1.
Задача 3. Доказать тождество
A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C).
Решение. Воспользовавшись свойством дистрибутивности и результатами задачи 2, получим
AÇ(BDD) = AÇ((B\D)È(D\B)) = (AÇ(B\D))È(AÇ(D\B)) =
= ((AÇB)\(AÇD))È((AÇD)\(AÇB)) = (AÇB) D (AÇD).
Задача 4. Доказать, что A Í (B Ç C) Û A Í B и A Í C;
Решение. Докажем, что из AÍ(BÇC) следует AÍB и AÍC. Для этого необходимо показать, что если выполнено включение посылки, т.е. AÍBÇC, то выполняются и оба включения следствия.
Пусть xÎA, тогда по условию xÎBÇC, а, следовательно, xÎB и xÎC. Поэтому справедливы включения AÍB и AÍC.
Докажем обратное следствие. Пусть выполнены оба включения AÍB и AÍC. То есть из xÎA вытекает, что xÎB и xÎC. Но это означает, что xÎBÇC. Следовательно, требуемое включение доказано.
Задача 5. Решить систему уравнений .
Решение. Так как A\X=B, то BÍA, XÇB=Æ, A\BÍX и AÍXÈB. Выполнение первых двух свойств очевидно.
Докажем справедливость третьего включения. Пусть xÎA\B, тогда xÎA и xÏB. Покажем, что xÎX. Предположим противное, т.е. xÏX, тогда из B=A\X получим xÎB, что противоречит условию. Следовательно, xÎX.
Так как BÍA, то A=(A\B)ÈB. Из этого равенства и условия A\BÍX следует, что AÍXÈB.
Аналогично из X\B=A следует, что CÍX, AÇC=Æ, XÍAÈC и X\CÍA. Так как A\BÍX и CÍX, то (A\B)ÈCÍX. Кроме того, из XÍAÈC, BÍA и XÇB=Æ следует, что XÍ(A\B)ÈC. Поэтому X=(A\B)ÈC, где BÍA и AÇC=Æ.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Доказать, что нестрогое включение обладает свойством рефлексивности: A Í A.
2. Показать, что {{1,2}, {2,3}} ¹ {1, 2, 3}.
3. Доказать, что для любых множеств A1, A2, . . . , An если справедливы включения A1 Í A2 Í ... Í An Í A1, то A1 = A2 = ... =An.
4. Доказать, что А D В = (А È В) \ (А Ç В).
5. Доказать, что множество корней многочлена y(x) = = f(x)×j(x) есть объединение множеств корней многочленов f(x) и j(x).
6. Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов f(x) и j(x) совпадает с множеством действительных корней многочлена y(x) = f 2 (x) + j2 (x).
Доказать тождества (7 – 17).
5. (AÇB) È (CÇD) = (AÈC) Ç (BÈC) Ç (AÈD) Ç (BÈD).
6. (A \ B) È (B \ C) È (C \ A) È (A Ç B Ç C) = A È B È C.
7. A \ (BÈC) = (A \ B)Ç(A \ C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \C).
8. A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C).
9.(AÇB) \ C = (A \ C)Ç(B \ C) = AÇ(B \ C) = (AÇB)\(AÇC).
10. (AÈB) \ C = (A \ C) È (B \ C).
11. A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C).
12. A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C).
13. A D (B D C) = (A D B) D C.
14. A D B = B D A. 16. A È B = A D B D (A Ç B).
15. A D (A D B) = B. 17. A \ B = A D (A Ç B).
Доказать включения (18 –24).
18. [ (B \ C) \ (B \ A) ] Í A \ C.
19. A \ C Í [(A \ B) È (B \ C)].
20. [(A Ç C) È (B Ç D)] Í [(A È B) Ç (C È D)].
21. [(A1 È A2 È . . . È An) D (B1 È B2 È . . . È Bn)] Í
.
.
) \ ( 
)] Í 
.
г) 
е) 