ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X и Y – два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение f, принимающее значения из Y (f : X® Y), если каждому элементу x из X ставится в соответствие единственный элемент y = f(x) из Y.
Множество элементов xÎX, для которых определено отображение f, называется областью определения f и обозначается df.
Если имеется какой-либо элемент хÎX, то соответствующий ему элемент yÎY будем называть образом x. Пусть A – некоторое подмножество множества X (AÍX), образ множества A определяется как множество образов элементов множества A и обозначается f(A), т.е. f(A) = {f(x) | xÎA}. Образ области определения называется областью значений отображения f и обозначается rf (т.е. rf = f(df) = f(X)).
Если задать yÎY, то множество соответствующих ему x, т.е. таких, что y = f(x), будем называть прообразом y и обозначать f -1(y), f -1(y) = {xÎX | y = f(x)}. В общем случае обратное отображение f -1 неоднозначно. Пусть B – некоторое подмножество множества Y (BÍY), прообраз множества B определяется как множество прообразов элементов множества B и обозначается f -1(B), т.е. f -1(B) = { xÎA | f(x)=y, y Î B}.
Отображение i : X ® X такое, что i(x) = x для любого xÎX называется тождественным отображением.
Пусть f : X ® Y и g : Y ® Z. Отображение h : X ® Z, такое, что каждому элементу xÎX ставится в соответствие единственный элемент h(x) = g(f(x)), называется композицией (или суперпозицией) отображений f и g и обозначается g о f.
Отображение f : X ® Y называется сюръекцией X на Y, если множество образов всех элементов из X совпадают с множеством Y. Это обозначается как f(X) = Y. Другое эквивалентное определение сюръекции – это отображение, при котором каждый элемент из Y имеет прообраз в множестве X.
Если для любых x1, x2ÎX таких, что x1 ¹ x2, получается, что f(x1) ¹ f(x2), т.е. разным элементам соответствуют различные образы, то это отображение f называется инъекцией.
Отображение f, которое является одновременно сюръекцией и инъекцией, называется биекцией, или взаимно однозначным отображением.
Если между А и В установлено биективное отображение, то говорят, что множества А и В эквивалентны. Эквивалентность множеств обозначается A ~ B.
Легко видеть, что эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A ~ B и B ~ C, то A ~ C. Признаки эквивалентности множеств дают следующие
ТЕОРЕМЫ Кантора-Бернштейна.
1. Если A Í B Í C, причем A ~ C, то A ~ B.
2. Если A эквивалентно подмножеству множества B, а B эквивалентно подмножеству множества A, то A ~ B.
Задача 1. Доказать, что f(A) Í B Û A Í f -1(B).
Решение.
1) Пусть f(A)ÍB и xÎA. Тогда f(x)Îf(A), а в силу f(A)ÍB справедливо f(x)ÎB, что означает xÎf -1(B). Следовательно, AÍ Íf -1(B).
2) Докажем, что f(A)ÍB при условии AÍf -1(B). Пусть yÎf(A), это значит, что y=f(x), где xÎA. Из включения AÍf -1(B) следует, что xÎf -1(B). Тогда y=f(x)Îf(f -1(B)) = B. Что и требовалось доказать.
Задача 2. Можно ли построить сюръективное отображение вида
множества целых чисел на множество рациональных чисел, где коэффициенты a0, a1, . . . , aт, b0, b1, . . . , bь - целые числа?
Решение.
Такое отображение построить нельзя. Любая функция f(x), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел при x®¥. Если f(x) = q < ¥, то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q-1< f(x)< q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k : |k| £ N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (- ¥,q-1]È[q+1,+¥), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.
Если f(x) = ¥, то рассуждения аналогичны (в этом случае конечное множество целых чисел k, таких, что |k| £ N, отображалось бы на множество рациональных чисел отрезка [-A, A], что невозможно. Следовательно, это отображение также не является сюръективным.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Доказать теоремы 2, 3 для бесконечного числа множеств.
2. Доказать, что для любого отображения f выполняется включение f(A Ç B) Í f(A) Ç f(B), а равенство будет только
тогда, когда f является биекцией.
3. Пусть A – произвольное множество из области определения отображения f. Верно ли равенство f -1(f(A)) = A?
4. Пусть B – произвольное множество из области значений отображения f. Верно ли равенство f(f -1(B)) = B?
Доказать тождества 5, 6.
5. f -1(A \ B) = f -1(A) \ f -1(B).
6. f(A) Ç B = f(A Ç f -1(B)).
7. Верно ли равенство f(A \ B) = f(A) \ f(B)? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? При каких условиях выполняется тождество?
8. Доказать, что для любой функции f:
а) A Í B Þ f -1(A) Í f -1(B);
б) A Í B Þ f(A) Í f(B);
в) f(A) = Æ Û A Ç dа = Æ;
г) f -1(A) = Æ Û A Ç rа = Æ.
9. Пусть j : A ® B – взаимно однозначное соответствие. Доказать, что:
а) j -1 – взаимно однозначное соответствие между B и A;
б) j -1 o j = i; в) j o j -1 = i.
10. Доказать, что объединение (пересечение) двух отображений f1 и f2 из A в B является отображением из A в B тогда и только тогда, когда f1 = f2.
11. Доказать, что:
а) f(A) Ç B = Æ Û A Ç f -1(B) = Æ;
б) f(A) Í B Û A Í f -1(B).
12. Пусть f : X ® Y, g : Y ® Z, h = g o f и B Í Z. Тогда h -1(B) = f -1(g -1(B)).
f(x) = q < ¥, то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q-1< f(x)< q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k : |k| £ N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (- ¥,q-1]È[q+1,+¥), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.