Элементы теории множеств

Постоянное соприкосновение с различными совокупностями предметов привело к возникновению понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому – либо признаку или правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую – либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соответствий между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Например, множество, состоящее из десяти монет, и множество, состоящее из десяти карандашей, - это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, - это одно и то же множество.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т.е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств – немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов.Предметы, составляющие какое – либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет является элементом множества М, записывается в виде m M, и читается так: «m принадлежит M». Если же предмет а не принадлежит множеству М, то пишут: . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества. Иными словами, все элементы одного и того же множества отличны друг от друга.

Множество не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

есть пустое множество. Пустое множество принято обозначать символом .

Если для двух множеств А и В каждый элемент множества В является также элементом множества А, то говорят, что В входит в А, что В есть часть А, что В есть подмножество множества А или что В содержится в А. Это свойство записывается как операция включения

или

Например, множество В={1,2,3} есть часть множества А={1,2,3,4,5,6}.

Ясно, что всегда . Удобно сч20итать, что пустое множество есть часть любого множества.

Если и , то В называется строгим (собственным) подмножеством (обозначается ).

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е., если А=В, то и , в противном случае . Например, множество А={1,2} и множество корней уравнения равны между собой.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным.

Число элементов в конечном множестве А называется его мощностьюи обозначается =0.

Если множество А конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом – числом его элементов.

Множество, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком называются универсальным () и образуют через U.

Совокупность всех подмножеств множества А называются его булеаном или множеством – степенью и обозначается В(А) или .